Вопрос по группам

[Someone]

bayah в сообщении #1342039 писал(а):

$\mathbb Z_2$ это циклическая группа порядка $2$ что есть $\mathbb Z_2 = <a | a^2> = \{a^0, a^1\}$

Извините, это чушь. $\mathbb Z_2$ — это группа из двух элементов $e$ и $a$, в которой $ee=aa=e$ и $ea=ae=a$ ($e$ — единица группы).
Если мы неединичные элементы двух групп $\mathbb Z_2$ обозначим $a$ и $b$, то свободная группа $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ состоит из всевозможных элементов вида $e$, $a$, $b$, $ab$, $ba$, $aba$, $bab$, $abab$, $baba$,…, а умножение сводится к приписыванию второго множителя к первому и последовательного вычёркивания пар одинаковых соседних элементов (если вычеркнуто всё, то произведение равно $e$). Например,

$$abab\cdot baba=ababbaba=abaaba=abba=aa=e.$$

[bayah]

Someone в сообщении #1342049 писал(а):

Извините, это чушь.

А что чушь, простите, я не понял?
Я вроде бы ровно тоже самое что вы написали и имел ввиду.

[Someone]

bayah в сообщении #1342060 писал(а):

А что чушь, простите, я не понял?

Прошу прощения, мне там что-то померещилось не то.

[bayah]

Someone в сообщении #1342064 писал(а):

Прошу прощения, мне там что-то померещилось не то.

Да ниче)

А подскажите еще вот что, если для $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ порядок $<ab>$ бесконечен как мы это поняли?
Просто из факта, что $ab \neq ba$? Типа $(ab)(ab)(ab)...$ никак не сократить до $e$?

А вот если взять другой пример - группу симметрий правильного треугольника и взять два элемента:
$g$ - одно из трех отражений относительно прямой проходящей через вепршину и середину противоположной стороны.
$h$ - поворот на 120 градусов
$|<g>| = 2$
$|<h>| = 3$
$gh \neq hg$

Но $|<gh>| = 2$.

В чем разница в этих двух примерах? Почему в одном случае порядок бесконечен, а в другом конечен?

[Someone]

bayah в сообщении #1342276 писал(а):

Но $|<gh>| = 2$.

В чем разница в этих двух примерах? Почему в одном случае порядок бесконечен, а в другом конечен?

А почему должно быть одинаково? Группы-то разные. В симметрий треугольника $S_3$ есть ещё соотношение $(gh)^2=e$.

bayah в сообщении #1342276 писал(а):

для $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ порядок $<ab>$ бесконечен

Да.

[Munin]

На сайте
https://groupprops.subwiki.org/ Groupprops, The Group Properties Wiki
есть образующие и соотношения, кажется, для всех конечных групп.

Например, для $S_3$ приведены варианты:

$\langle a,b,c \mid a^2 = b^2 = c^3 = abc = e \rangle$
$\langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = (s_1s_2)^3 = e \rangle$
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3

Для группы симметрий правильного $n$-угольника (диэдральной группы, $\mathrm{Dih}_n$):

$\langle x,a \mid a^n = x^2 = e, xax^{-1} = a^{-1} \rangle$
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group

И для симметрической группы (группы всех перестановок длины $n,$ $S_n$) есть представление Коксетера

$\langle s_i \mid s_i^2 = 1, (s_is_{i+1})^3 = 1, (s_is_j)^2 = 1 \ \forall \ |i - j| > 1 \rangle$
где $s_i$ - транспозиции $(i,i+1)$
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group

[alcoholist]

bayah в сообщении #1342276 писал(а):

А подскажите еще вот что, если для $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ порядок $<ab>$ бесконечен как мы это поняли?

Звездочка обозначает свободное произведение, то есть никаких нетривиальных соотношений, содержащих элементы первой и второй группы нет. А соотношение $(ab)^n=e$ является нетривиальным.

[bayah]

Someone в сообщении #1342277 писал(а):

В симметрий треугольника $S_3$ есть ещё соотношение $(gh)^2=e$.

alcoholist в сообщении #1342291 писал(а):

Звездочка обозначает свободное произведение, то есть никаких нетривиальных соотношений, содержащих элементы первой и второй группы нет. А соотношение $(ab)^n=e$ является нетривиальным.

Ну да, ну да...
Точно.

А, кстати, нетривиальные элементы группы это какие? Только $e$?

[alcoholist]

bayah в сообщении #1342294 писал(а):

А, кстати, нетривиальные элементы группы это какие? Только $e$?

Это единица. А нетривиальность -- про соотношения (слова в свободном алфавите).

[bayah]

alcoholist в сообщении #1342297 писал(а):

Это единица. А нетривиальность -- про соотношения (слова в свободном алфавите).

Просто тут есть такое утверждение, для которого требуется понять верно ли оно для любых групп:

Цитата:

Если все нетривиальные элементы группы имеют порядок 2, то эта группа абелева

Выходит что тут имеются ввиду все элементы кроме единицы?

[Someone]

bayah в сообщении #1342348 писал(а):

Выходит что тут имеются ввиду все элементы кроме единицы?

Да.

[alcoholist]

bayah в сообщении #1342348 писал(а):

Если все нетривиальные элементы группы имеют порядок 2, то эта группа абелева

ну да, если угодно "порядок не больше двух":

$$abab=e\Rightarrow baabab=ba\Rightarrow bbab=ba\Rightarrow ab=ba$$