[draft] Справочник. Тригонометрия

[cepesh]

Тригонометрические функции

$$ \forall \alpha: \cos\alpha, \sin\alpha \in [-1,1]; $$ $$\tg \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\ctg \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \quad \alpha\ne \pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\tg\alpha, \ctg\alpha\in(-\infty,\infty); $$ $$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\cosec \alpha = \frac{1}{\sin\alpha}, \quad \alpha\ne \pi k, k\in\mathbb{Z};$$

Основные тригонометрические тождества

$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1;$$ $$ \tg \alpha \ctg\alpha = 1, \quad \alpha\ne\frac{\pi k}{2}, k\in\mathbb{Z};$$ $$ 1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in\mathbb{Z};$$ $$ 1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha},\quad \alpha\ne\pi k, k \in\mathbb{Z};$$

Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента
(в приведенных формулах перед знаком радикала должен быть выбран "плюс" или "минус", в зависимости от того, в какой четверти находится угол $\alpha$, а именно, таким образом, чтобы знак тригонометрической функции, стоящей в левой части, совпадал со знаком величины, стоящей в правой части равенства)
\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} \hline &\sin\alpha&\cos\alpha&\tg\alpha&\ctg\alpha&\sec\alpha&\cosec\alpha\\ \hline \sin\alpha&&=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}&=\frac{\tg\alpha}{\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}}&=\frac{1}{\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}&=\frac{\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}}{\sec\alpha}&=\frac{1}{\cosec\alpha}\\ \hline \cos\alpha&=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}&&=\frac{1}{\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}}&=\frac{\ctg\alpha}{\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}&=\frac{1}{\sec\alpha}&=\frac{\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}}{\cosec\alpha}\\ \hline \tg\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}}&=\frac{\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}&&=\frac{1}{\ctg\alpha}&=\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}&=\frac{1}{\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}}\\ \hline \ctg\alpha&=\frac{\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}&=\frac{\cos\alpha}{\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}}&=\frac{1}{\tg\alpha}&&=\frac{1}{\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}}&=\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}\\ \hline \sec\alpha&=\frac{1}{\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}}&=\frac{1}{\cos\alpha}&=\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}&=\frac{\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}{\ctg\alpha}&&=\frac{\cosec\alpha}{\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}}\\ \hline \cosec\alpha&=\frac{1}{\sin\alpha}&=\frac{1}{\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}}&=\frac{\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}}{\tg\alpha}&=\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}&=\frac{\sec\alpha}{\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}}&\\ \hline \end{array}


Тригонометрические функции суммы и разности двух углов:

$$\sin(\alpha\pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha\pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}, \quad \alpha,\beta,\alpha+\beta \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}, \quad \alpha,\beta,\alpha-\beta \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg \alpha \ctg \beta - 1}{\ctg \beta + \ctg \alpha}, \quad \alpha,\beta,\alpha+\beta \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\ctg(\alpha - \beta) = \frac{\ctg \alpha \ctg \beta + 1}{\ctg \beta - \ctg \alpha}, \quad \alpha,\beta,\alpha-\beta \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

[cepesh]

Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных углов:

$$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha;$$ $$ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha =1 - 2 \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha -1;$$ $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2\alpha} \quad \alpha \ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, \alpha \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z};$$ $$ \ctg 2\alpha = \frac{\ctg^2 \alpha -1}{2\ctg \alpha}, \quad \alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};$$

$$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha; \quad \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha;$$ $$\tg 3\alpha=\frac{3\tg\alpha - \tg^3\alpha}{1-3\tg^2\alpha}, \quad \alpha \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, \alpha \ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z};$$ $$\ctg 3\alpha = \frac{\ctg^3\alpha-3\ctg\alpha}{3\ctg^2\alpha-1}, \quad \alpha \ne \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z};$$

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}; \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}};$$ $$\tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, \quad \alpha \ne \pi+2\pi k, k \in \mathbb{Z};$$ $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}, \quad \alpha \ne \pi k, k \in \mathbb{Z};$$

В формулах половинного угла знаки перед радикалами берутся в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.


Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};$$ $$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2};$$ $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2};$$ $$A\sin \alpha + B\cos \alpha = \sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\phi_0),$$ где $\phi_0$ --- угол, для которого $\cos \varphi_0 = A/\sqrt{A^2+B^2}$, $\sin \varphi_0 = B/\sqrt{A^2+B^2};$ $$\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt2\cos(45^\circ-\alpha);$$ $$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt2\sin(45^\circ-\alpha);$$ $$\tg\alpha\pm\tg\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta},\quad \alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\ctg\alpha\pm\ctg\beta=\frac{\sin(\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}, \quad \alpha,\beta\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$ \tg\alpha\pm\ctg\beta=\pm\frac{\cos(\alpha\mp\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \alpha \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, \beta \ne \pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\tg\alpha+\ctg\alpha=2\cosec 2\alpha,\quad \tg\alpha-\ctg\alpha=-2\ctg 2\alpha, \quad \alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k\in\mathbb{Z};$$ $$ 1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}; \quad 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2};$$ $$ 1+\sin\alpha=2\cos^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right); \quad 1-\sin\alpha=2\sin^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right);$$ $$1\pm\tg\alpha=\frac{\sqrt2\sin(45^\circ\pm\alpha)}{\cos\alpha}, \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$1\pm\tg\alpha\tg\beta=\frac{\cos(\alpha\mp\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\ctg\alpha\ctg\beta\pm 1=\frac{\cos(\alpha\mp\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}, \quad \alpha,\beta\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$1-\tg^2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha}, \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$1-\ctg^2\alpha=-\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha}, \quad \alpha\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\tg^2\alpha-\tg^2\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\cos^2\alpha\cos^2\beta}, \quad \alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\ctg^2\alpha-\ctg^2\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)}{\sin^2\alpha\sin^2\beta}, \quad \alpha,\beta\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\tg^2\alpha-\sin^2\alpha=\tg^2\alpha\sin^2\alpha, \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$ $$\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha=\ctg^2\alpha\cos^2\alpha, \quad \alpha\ne\pi k, k\in\mathbb{Z}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

$$ \sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)];$$ $$ \cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)];$$ $$ \sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)];$$ $$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\frac14[\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)];$$ $$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma=\frac14[-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)];$$ $$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac14[\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)];$$ $$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac14[\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)];$$

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями:

$$ \arcsin x=-\arcsin(-x)=\frac{\pi}{2}-\arccos x = \arctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}};$$ $$ \arccos x = \pi -\arccos(-x)=\frac{\pi}{2} - \arcsin x = \arcctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}};$$ $$\arctg x = -\arctg (-x) = \frac{\pi}{2} - \arcctg x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}};$$ $$\arcctg x =\pi -\arcctg (-x) = \frac{\pi}{2} - \arctg x=\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$