Четыре необычных числа

[Ktina]

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа, обладающих следующим свойством: если к произведению любых двух из них прибавить произведение двух остальных чисел, то получится точный квадрат.

Либо докажите, что таких чисел не существует.

[wrest]

1 4 9 28

Для чисел до сотни, таких четверок 99. Последняя (по наименьшему из четверки) 27 34 63 82

Наименьшая по сумме чисел: 2 3 6 23
Наибольшая по сумме чисел: 9 49 81 88

Считал мегаэффективно: перебором всех 4 миллионов сочетаний без повторений из 100 по 4

[Ktina]

wrest
Большое спасибо!

[wrest]

Функции PARI/GP

subsets -- возвращает массив из всех сочетаний по k элементов из входного массива (вектора) A
subsets(A,k)=my(lst=List());forvec(v=vector(k,i,[1,#A]),listput(lst,vecextract(A,v)),2);Vec(lst)
test -- возвращает 1 если массив (вектор) из четверки поданных на вход чисел удовлетворяет задаче и 0 если нет
test(v)=if(issquare(v[1]*v[2]+v[3]*v[4]),if(issquare(v[1]*v[3]+v[2]*v[4]),if(issquare(v[1]*v[4]+v[2]*v[3]),return(1))));return(0)

Строим перечень всех чисел от 1 до 100 и запоминаем в массиве v:
v=vector(100,i,i);
Строим все сочетания (все четверки различных чисел от 1 до 100) и запоминаем в массиве v2
v2=subsets(v,4);
Печатаем все подходящие четверки:
for(i=1,#v2,if(test(v2[i]),print(v2[i])))

[waxtep]

Методом полунаучного тыка нашел для этих четырех чисел некоторую параметризацию:

$$\{t,t+y-z,t+x-z,t+x+y\}$$

где $t,x,y,z\in\mathbb{N}$, причем $x>y>z$ имеют смысл оснований квадратов, которым равны суммы попарных произведений и

$$t=\dfrac1 2\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(x+y-z)\right)$$

То есть, $x^2+y^2+z^2=s^2$ образуют Пифагорову четверку, при том такую, что $x>y>z$ и $s+z>x+y$. Это явно не все решения, только часть; из приведенных wrest только с единичкой и двойкой в это семейство входят. Еще из этой же семейки: $\{1,4,12,33\},\{3,6,7,34\},\{2,6,11,39\}$

[waxtep]

Забавно: в общем случае, Пифагорову четверку (тождественно) образуют числа $\{2\sqrt{ab+cd},2\sqrt{ac+bd},|a+d-b-c|\}$, где $a<b<c<d$ искомые четыре натуральных числа. Ранее найденное решение - частный случай, когда $2\sqrt{ad+bc}=a+d-b-c$

[waxtep]

Ага, у этой задачи есть всего два семейства решений - приличное и запредельно коварное. В приличном семействе три указанных квадрата входят в пифагорову четверку, потому что

$$\sqrt{dc+ba}=\dfrac1 2(d+c-b-a),\sqrt{db+ca}=\dfrac1 2(d+b-c-a),\sqrt{da+cb}=\dfrac1 2|d+a-c-b|$$

А в зап.-ков., три квадрата и три знакочередующиеся суммы входят в три разные пифагоровы четверки с одинаковой суммой.
Вот как ведет себя приличное решение $\{1,4,9,28\}$:

$$\begin{cases}\sqrt{28\cdot9+4\cdot1}=\frac1 2(28+9-4-1)\,\color{green!80!blue}{\mathbf{=16}}\\ \sqrt{28\cdot4+9\cdot1}=\frac1 2(28+4-9-1)\,\color{green!80!blue}{\mathbf{=11}}\\ \sqrt{28\cdot1+9\cdot4}=\frac1 2|28+1-9-4|\hphantom{.}\color{green!80!blue}{\mathbf{=8}}\\ \frac1 2(28+9+4+1)\hphantom{aaaaaaaaaaaaaa}\color{red!40!yellow}{\mathbf{=21}}\end{cases} \color{green!80!blue}{\mathbf{16^2+11^2+8^2}}\;\color{red!40!yellow}{\mathbf{=21^2}}$$

А вот так - запредельно коварное $\{9,49,81,88\}$:

$$\begin{cases}2\sqrt{88\cdot81+49\cdot9}\;\color{green!80!blue}{\mathbf{=174}}\qquad\color{black}{88+81-49-9}\hphantom{99}\,\color{green!80!blue}{\mathbf{=111}}\qquad\;\, \color{blue!70!red}{\mathbf{142^2}}\color{red!50!violet}{\mathbf{\,+\,138^2}}\color{green!80!blue}{\mathbf{\,+\,111^2\,=}}\\ 2\sqrt{88\cdot49+81\cdot9}\;\color{blue!70!red}{\mathbf{=142}}\qquad\color{black}{88+49-81-9}\hphantom{99}\,\color{blue!70!red}{\mathbf{=47}}\qquad \color{green!80!blue}{\mathbf{=174^2}}\color{red!50!violet}{\mathbf{\,+\,138^2}}\color{blue!70!red}{\mathbf{\,+\,47^2\;\;=}}\\ 2\sqrt{88\cdot9+81\cdot49}\;\color{red!50!violet}{\mathbf{=138}}\qquad\color{black}{|88+9-81-49|}\;\;\color{red!50!violet}{\mathbf{=33}}\qquad \color{green!80!blue}{\mathbf{=174^2}}\color{blue!70!red}{\mathbf{\,+\,142^2}}\color{red!50!violet}{\mathbf{\,+\,33^2\;\;=}}\\ 88+81+49+9\hphantom{9}\,\color{red!40!yellow}{\mathbf{=227}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\color{red!40!yellow}{\mathbf{\;\;=227^2}}\end{cases}$$

[wrest]

waxtep
Дык среди решения 2 3 6 23 нет квадратов

[waxtep]

wrest в сообщении #1340694 писал(а):

Дык среди решения 2 3 6 23 нет квадратов

Это приличное решение, из него можно получить пифагорову четверку $8^2+9^2+12^2=17^2$, точно так же как выше показано для решения $\{1,4,9,28\}$. Или, в другую сторону, из пифагоровой четверки $\{8,9,12,17\}$ можно получить решение $\{2,3,6,23\}$. Вообще, семейство приличных решений можно выписать в явном виде, т.к. параметризация пифагоровых четверок известна; запредельно коварное семейство, наверное, тоже, но я пока не пробовал

[waxtep]

waxtep в сообщении #1340707 писал(а):

Вообще, семейство приличных решений можно выписать в явном виде, т.к. параметризация пифагоровых четверок известна

А именно, приличные решения $a,b,c,d\in\mathbb{Z},\gcd(a,b,c,d)=1$:

$$\{a,b,c,d\}=\begin{cases} p^2+q^2+mp+mq+np-nq\\ m^2+n^2+mp-mq-np-nq\\ p^2+q^2-mp-mq-np+nq\\ m^2+n^2-mp+mq+np+nq \end{cases}\qquad \begin{tabular}{l} \operatorname{}m,n,p,q\in\mathbb{N}\cup\{0\}\\ \,\gcd(m,n,p,q)=1\\ \operatorname{}(m+n+p+q)\bmod2=1 \end{tabular}$$

Например, $m=0,n=4,p=1,q=2$ дает решение $\{1,4,9,28\}$