Параметрические уравнения есть, а декартовых нет? Как так?

[bitcoin]

Добрый вечер! Интересует такая ситуация. Есть параметрические уравнения некоторой кривой, но в декартовых эта кривая не выражается. Как такое возможно и откуда получили тогда параметрические уравнения? Ясно, что если есть декартовы уравнения, то можно легко параметризовать и получить параметрические. Но как по виду кривой, которая неописуема в декартовых получить параметрические? Вот, например, если взять циклоиду, то как получились параметрич. уравнения, если неизвестны декартовы?

[thething]

bitcoin в сообщении #1340761 писал(а):

Вот, например, если взять циклоиду, то как получились параметрич. уравнения, если неизвестны декартовы?

Например, как решение обыкновенного дифференциального уравнения

-- 22.09.2018, 20:32 --

Можете на примере окружности получить параметрические уравнения "не зная" об уравнении в декартовых координатах. Да и циклоиду так же можно, пользуясь только определением и элементарной геометрией (приняв за параметр некий угол).

[provincialka]

Не очень понятно выражение "как получились уравнения". Записали -- вот и получились. Например, откуда взялись уравнения $x= 2t-t^2, y=3t-t^3$?
Другое дело, если кривая вам уже известна. Но тут надо понять: откуда известна? Каким образом описана? Свойствами?

[bitcoin]

Хорошо, тогда вопрос конкретнее. Например, как могла возникнуть цuклouдa?

[Otta]

Муха ехала на колесе :)

[provincialka]

Циклоиду описывает точка на ободе катящегося колеса. То есть в этом случае складываются поступательное движение и вращательное. Каждое можно описать как функцию от времени, то есть $x$ и $y$ выразить через время $t$.

[bitcoin]

Интересно.

Хорошо, спасибо.

Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.} $

Но вот я не очень понимаю -- как решить данное уравнение? Тут же переменные не разделяются и сложно отнести это уравнение к какому-то известному типу

[Slav-27]

Циклоиду можно задать и в декартовых координатах в виде $y=f(x)$, другое дело что функция $f$, наверно, не является элементарной. Но в этом нет ничего удивительного, такое часто бывает. Например, первообразная элементарной функци может быть неэлементарной.

-- 22.09.2018, 21:59 --

bitcoin в сообщении #1340794 писал(а):

Но вот я не очень понимаю -- как решить данное уравнение? Тут же переменные не разделяются

Можно доказать, что решение существует и определяет на каком-то интервале гладкую функцию. Потом можно решать численно.

-- 22.09.2018, 22:02 --

И даже нет, и в декартовых координатах все прекрасно выражается через элементарные функции, обманываете вы нас.

[Someone]

bitcoin в сообщении #1340794 писал(а):

переменные не разделяются

Прекрасно разделяются. Квадратный корень извлекаете и получаете два уравнения вида $\frac{dy}{dx}=f(y)$.

[bitcoin]

Кстати, да, разделяются, действительно, спасибо, даже интеграл берется в элементарных функциях. Теперь мне только стало интересно -- как такой диффур был получен? Хочется открыть велосипед все-таки заново.

provincialka в сообщении #1340787 писал(а):

Циклоиду описывает точка на ободе катящегося колеса. То есть в этом случае складываются поступательное движение и вращательное. Каждое можно описать как функцию от времени, то есть $x$ и $y$ выразить через время $t$.

Вот это интересно. Разобрался с этим, посмотрел вывод этих уравнений, спасибо, интересно!

[Someone]

bitcoin в сообщении #1340805 писал(а):

Теперь мне только стало интересно -- как такой диффур был получен? Хочется открыть велосипед все-таки заново.

Собственно, имея параметрические уравнения, это дифференциальное уравнение получить не очень трудно. Находите $\frac{dy}{dx}$ по формуле производной функции, заданной параметрически, возводите её в квадрат, выражаете всё через $y$…

[thething]

А ещё -- при решении задачи о брахистохроне получается тот же дифур $y(1+(y')^2)=c$, который можно решить введением параметра $y'=\ctg t$ и получить параметрические уравнения циклоиды. Правда, в случае с циклоидой первично наверное параметрическое представление, а дифур -- уже потом. Но бывают и кривые, которые можно определять сразу, как решение некоторого дифференциального уравнения, а затем, решив тем же методом введения параметра, получить параметрическое представление (можете посмотреть какой-нибудь задачник по дифурам, хоть того же Филиппова).

[Евгений Машеров]

bitcoin в сообщении #1340761 писал(а):

Вот, например, если взять циклоиду, то как получились параметрич. уравнения, если неизвестны декартовы?

$x=r\arccos {\frac {r-y}{r}}-{\sqrt {2ry-y^{2}}}$

[Munin]

bitcoin в сообщении #1340784 писал(а):

Например, как могла возникнуть цuклouдa?

Как могла возникнуть циклоида - это легко разобраться. А как у вас в этом слове возникли две латинские буквы "u" вместо русских "и"? Специально их набирали?

[Soul Friend]

Брахистохрона:
https://ggbm.at/mxs2yjfc
надо в левом нижнем углу нажать на кнопку "плей".

Кривая Лиссажу и спирограф:
https://ggbm.at/x6tkxtka