Демидович 661.

[Ivan_B]

Доказать, что какова бы ни была последовательность функций
$f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x), \dots (x_0<x<+\infty),$
можно построить функцию $f(x)$, которая при $x\to+\infty$ растет быстрее, чем каждая из функций $f_n(x), (n=1, 2, \dots)$.

Тема "O-символика". В упражнении 659 требовалось доказать, что исходное утверждение верно для $f_n(x)=x^n$ и $f(x)=e^x$. И в 660 аналогично для корня и логарифма.При решении этих двух упражнений я остановился на том, что $x^n=o(x^{n+1})$, $x^n=o(e^x)$ при $x\to+\infty$.
Как построить $f(x)$ для $f_n(x)=x^{x^{.^{.^{.^x}}}}$ идей тоже нет.

[Vince Diesel]

Использовать для построения $f$ сразу все функции $f_n$.

[mihaild]

Можете одной формулой записать условие на $f$? (там соответственно будет квантор по $n$ и еще какие-то)
Для одной функции $f_1(x)$ можете придумать функцию, которая растет быстрее чем $f_1$? А для двух?
(т.к. способ должен работать для любой $f_1$, то $f$ придется как-то выражать через $f_1$)

[Someone]

"Растёт быстрее" — в смысле, имеет бо́льший порядок роста?

Ivan_B в сообщении #1340281 писал(а):

Как построить $f(x)$ для $f_n(x)=x^{x^{.^{.^{.^x}}}}$ идей тоже нет.

Возможно, Вы слишком узко трактуете термины "функция" или "построить".

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1340318 писал(а):

Для одной функции $f_1(x)$ можете придумать функцию, которая растет быстрее чем $f_1$? А для двух?

Для одной - да: например, домножить ее на $x$. Для двух - нет, буду думать.

Someone в сообщении #1340332 писал(а):

"Растёт быстрее" — в смысле, имеет бо́льший порядок роста?

Упражнение я переписал дословно. Решаю все задачи подряд, поэтому дополнительного контекста у меня нет. Так что ответа на этот вопрос у меня тоже нет. Могу только предполагать.

Someone в сообщении #1340332 писал(а):

Возможно, Вы слишком узко трактуете термины "функция" или "построить".

Vince Diesel в сообщении #1340309 писал(а):

Использовать для построения $f$ сразу все функции $f_n$.

Спасибо за подсказки. Буду думать.

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1340339 писал(а):

Могу только предполагать.

Там по формулировкам других задач логично предположить, что нужно найти $f$ такую, что $f_i(x)=o(f(x)), x\to \infty, i=1,2,...$.

[Ivan_B]

Получилось:
Пусть $g(x)=\max\limits_{i<x}|f_i(x)|+1$
Тогда если положить $f(x)=x\cdot g(x)$ и $\alpha_i(x)=\frac{1}{x}\frac{f_i(x)}{g(x)}$, получится $f_i(x)=\alpha_i(x)f(x)$ и $\alpha_i(x)=o(1)$, поскольку $\frac{f_i(x)}{g(x)}=O(1)$ по построению.

Еще раз Всем спасибо!

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1340519 писал(а):

Получилось:

Красивое решение!

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1340561 писал(а):

Красивое решение!

Спасибо.