Независимость для сумм случайных величин

[meverand]

Всем привет!
Не могу ответить уже несколько часов на вопрос, который кажется элементарным. Пусть даны $n$ независимых случайных величин $\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n$. Будет ли случайная величина $\eta = \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_k$ и $\xi_m$ независимы ($k < n, m > k, m < n + 1$)? И будут ли случайные величины $\xi_1$ и $\xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n$ зависимы? И как это можно доказать?

[Someone]

meverand в сообщении #1340444 писал(а):

И как это можно доказать?

Нужно рассмотреть совместную функцию распределения.

[meverand]

Спасибо, но мне это мало помогло.
Я доказываю методом математической индукции, что сумма независимых в совокупности Пуассоновских случайных величин $\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n$ (с параметром $\lambda$) имеет также распределение Пуассона с параметром $\lambda_n = n \lambda$.
Для это я доказала утверждение, что сумма независимых (!) случайных величин $\xi_1, \xi_2$ (с параметрами $\lambda_1$ и $\lambda_2$) - Пуассоновская случайная величина с $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$.
Однако для шага k (k > 2) индукции нужно использовать факт того, что $\xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_{k-1}$ и $\xi_k$ независимы.

Я не очень понимаю, как в этом случае считать совместную функцию распределения (если о независимости ничего не известно).

[dsge]

Чему равны ковариации у независимых случайных величин (для простого решения 2-го вопроса)?

[meverand]

dsge в сообщении #1340480 писал(а):

Чему равны ковариации у независимых случайных величин?

Для независимых случайных величин ковариация равна 0. Но в обратную сторону утверждения неверно, или что имеется в виду?

[dsge]

meverand в сообщении #1340481 писал(а):

Но в обратную сторону утверждения неверно, или что имеется в виду?

2-й вопрос легко решается подсчетом ковариации, а с 1-м надо, как замечено выше, рассматривать распределения.

[meverand]

dsge в сообщении #1340483 писал(а):

meverand в сообщении #1340481 писал(а):

Но в обратную сторону утверждения неверно, или что имеется в виду?

2-й вопрос легко решается подсчетом ковариации, а с 1-м надо, как замечено выше, рассматривать распределения.

Спасибо большое!
Поняла, как через распределение доказать. Можно доказать, что $\xi_1 + \xi_2$ и $\xi_k$ (где $k>2, k<n$) являются независимыми. А затем воспользоваться ММИ.

[Евгений Машеров]

Да. Да. Нет. Да.
С первым - функции от независимых случайных величин независимы.
Со вторым - поскольку $\xi_1$ может принимать значение $x$, отличные от её матожидания $M_1$(если мы обсуждаем независимость, то вырожденные величины рассматривать нет смысла), то если $x\ne M_1$, то матожидание суммы вместо $E(\Sigma_{i=1}^n \xi_i)=\Sigma_{i=1}^n E(\xi_i)=\Sigma_{i=1}^n M_i$ будет равно $x+\Sigma_{i=2}^n M_i\ne\Sigma_{i=1}^n M_i$