Многочлен и делимость на 2018

[Ktina]

Дан многочлен $P(x)$, все коэффициенты которого - целые числа.

а) Тамара выписывает в тетрадь суммы:

$$P(1),\quad P(1)+P(2),\quad P(1)+P(2)+P(3),\quad\dots,\quad P(1)+P(2)+P(3)+\dots +P(n)+\dots$$

Докажите, что рано или поздно Тамара выпишет сумму, кратную 2018.


б) А вот Шуламит, сестра Тамары, выписывает на доску другие суммы:

$$P(1),\quad P(1)+P(2),\quad P(1)+P(2)+P(4),\quad\dots,\quad P(1)+P(2)+P(4)+\dots +P(2^n)+\dots$$

Докажите, что и Шуламит рано или поздно выпишет сумму, кратную 2018.

[waxtep]

а) $P(x+k)\equiv P(x)\bmod k$; значит, если взять $2018^2$ членов - точно поделится

[Ktina]

waxtep
Верно! А второй пункт ещё легче.