2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Многочлен и делимость на 2018
Сообщение18.09.2018, 22:52 
Аватара пользователя
Дан многочлен $P(x)$, все коэффициенты которого - целые числа.

а) Тамара выписывает в тетрадь суммы:
$$P(1),\quad P(1)+P(2),\quad P(1)+P(2)+P(3),\quad\dots,\quad P(1)+P(2)+P(3)+\dots +P(n)+\dots$$

Докажите, что рано или поздно Тамара выпишет сумму, кратную 2018.


б) А вот Шуламит, сестра Тамары, выписывает на доску другие суммы:
$$P(1),\quad P(1)+P(2),\quad P(1)+P(2)+P(4),\quad\dots,\quad P(1)+P(2)+P(4)+\dots +P(2^n)+\dots$$

Докажите, что и Шуламит рано или поздно выпишет сумму, кратную 2018.

 
 
 
 Re: Многочлен и делимость на 2018
Сообщение18.09.2018, 23:35 
Аватара пользователя
а) $P(x+k)\equiv P(x)\bmod k$; значит, если взять $2018^2$ членов - точно поделится

 
 
 
 Re: Многочлен и делимость на 2018
Сообщение19.09.2018, 00:22 
Аватара пользователя
waxtep
Верно! А второй пункт ещё легче.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group