Можно ли определять множество через перебор подмножеств?

[statistonline]

Поясню вопрос. Например, мы хотим определить, что такое множество простых чисел на конечном множестве $A=[{1, 2,\dots, 10}]$. Мы говорим, определив с элементами исходного множества операции $\cdot$ и $+$, что в качестве подмножеств в множество $A$ входят:
$A^{(2)}=[{1, 4, 9}]$
$A^{(3)}=[{1, 8}]$
$A^{(4,...)}=[{1}], n\geqslant4$
то есть квадраты, кубы и т.д. элементов исходного множества.
Далее, сюда войдут подмножества, состоящие из элементов, полученных в арифметических и геометрических прогрессиях:
$A_{1}^{a.p.}=[{1, 2,\dots, 10}]$
$A_{2}^{a.p.}=[1, 3, 5,..., 9]$

$...$

$A_{9}^{a.p.}=[1, 10]$

$A_{2}^{g.p.}=[1, 2, 4, 8]$
$A_{3}^{g.p.}=[1, 3, 9]$

$...$

$A_{10}^{g.p.}=[1, 10]$
Возможно, еще какие-то подмножества сюда войдут, но не вижу, какие еще могли бы быть.
Далее, мы определим подмножество простых чисел множества $A$, как подмножество, не входящее во множество всех подмножеств, перечисленных выше. Иными словами, можно ли определять подмножества как невыделяемые (я догадываюсь, что термин неудачный, но другого не подобрал) с помощью некоторых операций над элементами исходного множества?

[ИСН]

Можно, но это плохая идея. Чтобы такое определение что-то определяло, надо будет отдельно как-то (как?) доказать, что подмножество, не входящее в ранее перечисленные, во-первых, существует, а во-вторых, единственно.

[statistonline]

Да, спасибо. Уже вижу, что глупость написал. Например, подмножество $A'=[1, 5, 8, 9]$ тоже ниоткуда не возникает.

[Someone]

А что означают квадратные скобки? Если имеется в виду перечисление элементов, то стандартно используются фигурные: $\{1,5,8,9\}$. Они кодируются как \{ и \}.

[arseniiv]

statistonline
Если вы хотите выделить все элементы, не представимые определённым образом, то так и делайте (собиранием представимых и взятием дополнения).

[statistonline]

Someone в сообщении #1339684 писал(а):

Они кодируются как \{ и \}.

Спасибо, понял.

arseniiv в сообщении #1339748 писал(а):

Если вы хотите выделить все элементы, не представимые определённым образом, то так и делайте (собиранием представимых и взятием дополнения).

Вот именно это я и имел в виду. Т.е. мы имеем законное право указывать некое подмножество как дополнение к перебору некоего набора других подмножеств исходного множества? Ув. ИСН указал, что потом придется еще доказывать его существование и единственность. А разве надо доказывать существование и единственность дополнения подмножества до множества? Или он не это имел в виду?

[Zeekless]

statistonline

Тут два варианта.

1) Вам нужно множество, состоящее из элементов, которых нет ни в одном множестве из Вашего списка - и тогда можно взять дополнение объединения всех множеств из списка. Но это не Ваш случай (элементы 2, 3, 5 и другие встречаются в множествах из списка).

2) Вам нужно найти единственный элемент булеана $ 2^A $, ранее не перечисленный. Тогда действительно нужно убедиться, что Вы перечислили все, кроме одного.

[statistonline]

Zeekless в сообщении #1339850 писал(а):

Но это не Ваш случай

Скорее как раз мой. Элементы подмножества могут входить в другие подмножества, пусть они пересекаются. Уникальным является только целиком набор (и порядок) элементов.

[ИСН]

Тогда дополнение чего до чего Вы имели в виду?

[statistonline]

Дополнение множества подмножеств, которые мы получаем по правилам (см. далее) до исходного множества $A$. То есть, правила таковы: если у нас получится перебрать все мыслимые подмножества как составленные из элементов, полученных с помощью операций над элементами $A$, то в дополнение(-я) попадут подмножества, упорядоченные наборы которых такими операциями получить нельзя. Вот и можно ли их так определять: "это не то и не то, и не то,...".

[ИСН]

Множество подмножеств нельзя дополнить до A. Элементами A являются числа, а не множества. Оберните свою голову вокруг этой идеи. Множество чисел и множество множеств - совсем непохожи, даже не родственники друг другу.

[statistonline]

Тогда мы можем предварительно из элементов А образовать множество подмножеств, состоящих из сочетаний элементов А, на которые наложено условие $a_{i+1}>a_{i}$ (т.е. упорядочить их возрастанием внутри каждого подмножества)?
Наверное, надо было сразу объяснить суть исходного интереса, а то, видимо, я не в том направлении двигаюсь, и людей путаю. Нужно придумать загадку. Суть загадки в обнаружении закономерности некоей последовательности (возрастающей) натуральных чисел. Последовательность конечная, причем оговорена верхняя граница. Нужно найти закономерность, по которой эта последовательность построена. Нет, к простым числам никакого отношения загадка не имеет и иметь не может. Простые числа в исходном посте просто для примера.
Я решил попробовать составить из конечной последовательности такую подпоследовательность, которая, наоборот, никакими закономерностями из исходного не получается. Это и должно быть отгадкой: закономерность в том, что эта последовательность единственная "незакономерная".

[Someone]

statistonline в сообщении #1339891 писал(а):

Суть загадки в обнаружении закономерности некоей последовательности (возрастающей) натуральных чисел. Последовательность конечная, причем оговорена верхняя граница. Нужно найти закономерность, по которой эта последовательность построена.

Такие "загадки" всегда имеют бесконечное множество правильных ответов.

[ИСН]

statistonline в сообщении #1339891 писал(а):

Это и должно быть отгадкой: закономерность в том, что эта последовательность единственная "незакономерная".

Ну ОК, а с чего бы ей быть единственной-то?

[statistonline]

Someone в сообщении #1339892 писал(а):

Такие "загадки" всегда имеют бесконечное множество правильных ответов.

ИСН в сообщении #1339895 писал(а):

Ну ОК, а с чего бы ей быть единственной-то?

Пока это большой вопрос. Вот мне и надо придумать пример, чтобы она была единственной.