[draft] Справочник. Действительные числа

[cepesh]

Каноническое разложение натурального числа:

$$n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\dots\cdot p_s^{k_s}$$

,
где $p_1, \dots, p_s$ — различные между собой простые, $k_1,\dots,k_s$ — натуральные числа.

Добавлено спустя 39 минут 16 секунд:

Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное или нуль.
Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 4.
Число делится на 8, если три последние его цифры — нули или образуют число, делящееся на 8.
Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 5, если оно оканчивается либо на нуль, либо на 5.
Число делится на 25, если его последние две цифры — нули либо образуют число, делящееся на 25.
Число делится на 11, если у него сумма цифр, занимающих четные места, либо равна сумме цифр, занимающих нечетные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.
Формула связи наибольшего общего делителя $(m, n)$ двух натуральных чисел $m$ и $n$ их наименьшего общего кратного $\{m, n\}$:

$$m\cdot n = (m, n)\cdot \{m, n\}$$

Добавлено спустя 20 секунд:

Абсолютная величина (модуль) действительного числа:

$$|a|=\left\{ \begin{array}{rl} a, & \mbox{если } a \ge 0,\\ -a, & \mbox{если } a<0, \end{array}\right. $$

Если $a$ и $b$ — два действительных числа, то

$$|a\cdot b| = |a| \cdot |b|; \quad \left | \frac{a}{b} \right | = \frac{|a|}{|b|};$$

$$|a+b| \le |a| + |b|$$

(неравенство треугольника);

$$\left| |a|-|b| \right| \le |a-b|$$

Добавлено спустя 13 секунд:

Дроби.
Правила действий с рациональными числами (дробями):

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{mq+np}{nq}; \quad \frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=\frac{m\cdot p}{n \cdot q};$$

$$\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{mq-np}{nq}; \quad \frac{m}{n} : \frac{p}{q}=\frac{m\cdot q}{n \cdot p}.$$

Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:

$$0,n_1 n_2 n_3 \dots n_k = \frac{n_1 n_2 \dots n_k}{10^k}$$

.
$n_1 n_2 n_3 \dots n_k$ — цифры.

Формула обращения бесконечной периодической дроби в рациональную дробь:

$$0,n_1 n_2 n_3 \dots n_k (n_{k+1}n_{k+2}\dots n_{k+p})=\frac{n_1 n_2 \dots n_k n_{k+1}n_{k+2}\dots n_{k+p} - n_1 n_2 \dots n_k}{10^k(10^p-1)}$$

$(n_{k+1}n_{k+2}\dots n_{k+p})$ — период дроби

Добавлено спустя 10 минут 52 секунды:

Пропорции
Из пропорции

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

следуют равенства:

$$a\cdot d = b \cdot c; \quad \frac{a\pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d}; \quad \frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$$

$$\frac{ma+nb}{pa+qb} = \frac{mc+nd}{pc+qd}$$

(производные пропорции),
где $m, n, p, q$ — произвольные числа и $p^2+q^2\ne 0$.

Добавлено спустя 11 минут 16 секунд:

Степени и логарифмы.
Степени с действительным показателем:

$$a^0=1 \quad (a\ne 0); \quad a^x \cdot a^y = a^{x + y}; \quad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y};$$

$$\left(a^x\right)^y=a^{xy}; \quad (a\cdot b)^x = a^x \cdot b^x; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$$

Логарифмы $(a, M_1, M_2 > 0, a \ne 1)$:

$$\log_a a =1;$$

$$\log_a (M_1 M_2)=\log_a M_1 + \log_a M_2;$$

$$\log_a \frac{M_1}{M_2} = \log_a M_1 - \log_a M_2;$$

$$\log_a \left(b^c\right) = c \log_a |b| \quad (b^c>0); \quad \log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a} \quad (b,c>0, b\ne 1); \quad \log_a c = \frac{1}{\log_c a} \quad (c>0, c\ne 1)$$

.