найти минимальный многочлен

[philurame]

Доброго времени суток. Помогите пожалуйста решить задачу: найти минимальный многочлен элемента $x=e^{\frac{2\pi i}{5}}$ над полем $\mathbb{Q}(i)$.
Так как расширение поля $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(x)$, имеющее минимальный многочлен $\frac{x^5-1}{x-1}=0$ имеет степень 4, то минимальный многочлен расширения $\mathbb{Q}(i)\subset\mathbb{Q}(x,i)$ должен иметь степень 2.
Осталось теперь как-то найти второй корень $y$ для искомого многочлена, такой, что $x+y$ и $xy$ лежат в $\mathbb{Q}(i)$
Как можно найти этот второй корень?

[Slav-27]

philurame в сообщении #1339315 писал(а):

Так как расширение поля $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(x)$, имеющее минимальный многочлен $\frac{x^5-1}{x-1}=0$ имеет степень 4, то минимальный многочлен расширения $\mathbb{Q}(i)\subset\mathbb{Q}(x,i)$ должен иметь степень 2.

Почему?

[philurame]

Slav-27
почему первое расширение имеет степень 4? так как многочлен $x^4+..+1$ неприводим над $\mathbb{Q}$
почему должен иметь степень 2? так как мы имеем цепочку $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(i)\subset\mathbb{Q}(x)$: в ней первое расширение имеет степень 2 $(x^2+1)$, а $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]*[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}(i)]=[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}]$
имеем: $2*a=4$.

(я всюду подразумеваю, что $\mathbb{Q}(i,x):=\mathbb{Q}(x)$)

[Slav-27]

philurame в сообщении #1339344 писал(а):

я всюду подразумеваю, что $\mathbb{Q}(i,x):=\mathbb{Q}(x)$

То есть что в $\mathbb Q(x)$ уже содержится $i$. А почему оно там содержится?

-- 16.09.2018, 15:41 --

Иными словами: вы умеете выражать $i$ в виде линейной комбинации корней 5-й степени из 1 с рациональными коэффициентами?

[philurame]

Slav-27
то есть если я добавил многочлен элемента х, это еще не значит, что я добавил элемент i. согласен..
Тогда, в любом случае, как же тогда вообще найти искомый минимальный многочлен?

[Slav-27]

Для начала посчитать степень $[\mathbb Q(x,i):\mathbb Q]=[\mathbb Q(x,i) : \mathbb Q(i)][\mathbb Q(i) : \mathbb Q]=[\mathbb Q(x,i):\mathbb Q(x)][\mathbb Q(x):\mathbb Q]$.

[philurame]

Slav-27
получается 8, тогда многочлен 4 степени.. как его искать?

[Slav-27]

4-й степени вы ещё в 1-м посте написали.

[philurame]

Slav-27в 1 посте я писал про степень расширения $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(x)$
а сейчас про $\mathbb{Q}(i)\subset\mathbb{Q}(x,i)$

[Slav-27]

philurame
Вы выяснили, что степень второго из этих расширений $4$. Поэтому вы хотите многочлен 4-й степени, у которого $x$ корень. У вас такой уже есть. Чем он вас не устривает?

[philurame]

Slav-27
Ой, действительно, не заметил, спасибо! :)

[Nomo]

philurame в сообщении #1339380 писал(а):

Slav-27
получается 8, тогда многочлен 4 степени.. как его искать?

А как вы получили, что степень $[\mathbb Q(x,i):\mathbb Q]=[\mathbb Q(x,i) : \mathbb Q(i)][\mathbb Q(i) : \mathbb Q]=[\mathbb Q(x,i):\mathbb Q(x)][\mathbb Q(x):\mathbb Q]$ равна 8? Почему не может быть быть так, что $[\mathbb Q(x,i):\mathbb Q(x)]=1$?

[Slav-27]

Slav-27 в сообщении #1339357 писал(а):

Вы умеете выражать $i$ в виде линейной комбинации корней 5-й степени из 1 с рациональными коэффициентами?

[Nomo]

Slav-27 в сообщении #1339445 писал(а):

Slav-27 в сообщении #1339357 писал(а):

Вы умеете выражать $i$ в виде линейной комбинации корней 5-й степени из 1 с рациональными коэффициентами?

Не умею. Но это не доказывает, что такой комбинации нет.

[Slav-27]

Ну например так: группа Галуа $\mathbb Q(x):\mathbb Q$ есть $\mathbb Z_4$ (мы присоединили корень кругового многочлена 4-й степени), там есть подрасширение степени $2$, порожденное $\cos \dfrac{2\pi}5=x+x^{-1}$, оно соответствует $\mathbb Z_2 < \mathbb Z_4$ (ненулевой элемент которой заменяет каждый корень на обратный). Других подрасширений степени 2 быть не может по основной теореме.

Ещё можно выразить $\cos \dfrac{2\pi}{5}$ и $\sin\dfrac{2\pi}{5}$ через квадратные корни и внимательно на это посмотреть.

Возможно, можно как-то ещё проще.