Каким способом решать задачи про кратности корней?

[ellipse]

В задачнике Фаддеева, Соминского по алгебре есть задачи про кратности корней.
Например:
№555. Чему равен показатель кратности корня $2$ для полинома $f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$.
№556. Определить коэффициент $a$ так, чтобы полином $x^5-ax^2-ax+1$ имел $-1$ корнем не ниже второй кратности.
№557. Определить коэффициенты $A, B$ так, чтобы полином $Ax^2+Bx^2+1$ делился на $(x-1)^2$.
№563. Найти условие, при котором полином $x^5+ax^2+b$ имеет корень кратности два, отличный от нуля.

Решение какими способами подразумевается: последовательное деление на одночлен (x-c), разложение по степеням (x-c), с помощью производной?

[Someone]

ellipse в сообщении #1338840 писал(а):

Решение какими способами подразумевается

Если из самого задачника не ясно, каким методом надо решать, и преподаватель ничего по этому поводу не говорил, то решайте любым методом, какой знаете. Для сравнения можете перепробовать все методы, какие знаете, и определить, какой выгоднее.

[Sonic86]

Можно делать подстановку $x=c+y$, после ее выполнения формулировки задач сильно упрощаются.

[ellipse]

С последней не могу разобраться

Цитата:

Найти условие, при котором полином $x^5+ax^2+b$ имеет корень кратности два, отличный от нуля.

Пусть $c$ -- искомый корень. Будем делить на $(x-c)$ по схеме Хорнера

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} 1 & 0 & 0 & a & 0 & b \\ \hline 1 & c & c^2 & c^3+a & c^4+ac, & c^5+ac^2+b \\ \hline 1 & 2c & 3c^2 & 4c^3+a, & 5c^4+2ac \end{array}$

Получаем систему:
$\left\{\begin{matrix} c^5+ac^2+b=0 \\ 5c^4+2ac = 0 \end{matrix}\right.$
Далее заменим $c$ на $x$ как более привычное обозначение для неизвестной.

Надо найти $a,b$, при которых она имеет решение.

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 5. Из второго выразим $x$

$\left\{\begin{matrix} 3ax^2 =-5b \\ x = \left(-\frac25a \right)^{1/3} \end{matrix}\right.$

После подстановки получается $3125b^3+108a^5=0$. А в ответе $3125b^2+108a^5=0$. Ошибка у меня или опечатка в задачнике?

[alcoholist]

ellipse в сообщении #1339202 писал(а):

А в ответе $3125b^2+108a^5=0$

в ответе правильно, только, конечно, $b^3$.

-- Сб сен 15, 2018 20:49:53 --

ellipse в сообщении #1339202 писал(а):

Получаем систему:

$$\left\{\begin{matrix} c^5+ac^2+b=0 \\ 5c^4+2ac = 0 \end{matrix}\right.$$

Система правильная: второе уравнение это равенство нулю производной в точке $x=c$, первое уравнение говорит о том, что $x=c$ -- корень.
В точке, где корень кратный, график касается оси абсцисс.