Определение гладкой кривой

[Kleon]

Рассмотрим гладкую кривую в $\Bbb R^2$. Пусть функции $x(t)$, $y(t)$ определенные на отрезке $[a,b]$ такие, что 1) непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, 2) $(x'(t))^2+(y'(t))^2\neq0$ для $t\in [a,b]$.
Условие 1) геометрически говорит о существование касательного вектора непрерывно поворачивающегося при непрерывном изменении $t$ (?).
Не совсем понятно условие 2). Вроде бы это гарантия того, что касательный вектор не нулевой длинны -- что бы с таким заданием кривой работать было удобнее.
Но тогда, например кривая $x(t)=\cos t$, $y(t)=0$, $t\in[-\pi,\pi]$ не гладкая кривая из-за того что условие 2) не выполняется при $t=\pm\pi$.
И эта кривая эквивалентна кривой $x(t)=t$, $y(t)=0$, $t\in[-1,1]$, которая гладкая. Странно.

[thething]

Дело в том, что одну и ту же кривую можно задать вообще говоря разными параметризациями, какие-то из которых могут оказаться вообще не дифференцируемыми (например, полуокружность можно задать через тригонометрию, а можно -- через квадратный корень). Поэтому определение гладкой кривой стОит понимать так: если кривую можно задать непрерывно-дифференцируемой параметризацией с одновременно не равными нулю производными, то кривая называется гладкой.

Kleon в сообщении #1338935 писал(а):

И эта кривая эквивалентна кривой $x(t)=t$, $y(t)=0$, $t\in[-1,1]$, которая гладкая

Эти кривые не эквивалентны, хоть и изображаются одним и тем же множеством точек.

[Kleon]

Спасибо за ответ.
На счет эквивалентности: хотел написать для первой кривой $t\in[-\pi,0]$. Так тоже не эквивалентны?

[Slav-27]

Kleon в сообщении #1338935 писал(а):

Вроде бы это гарантия того, что касательный вектор не нулевой длинны -- что бы с таким заданием кривой работать было удобнее.

В первую очередь это нужно для того, чтобы у кривой не было изломов. Можно параметризовать уголок, состоящий из отрезка $[0,1]$ оси $x$ и отрезка $[0,1]$ оси $y$ гладкими функциями $x(t),y(t)$ (попробуйте!). Если требовать, чтобы скорость не обращалась в ноль, то так уже не получится.

-- 14.09.2018, 17:23 --

Kleon в сообщении #1338946 писал(а):

Так тоже не эквивалентны?

Это зависит от того, что вы считаете эквивалентностью.

[Dmitriy40]

Kleon в сообщении #1338946 писал(а):

На счет эквивалентности: хотел написать для первой кривой $t\in[-\pi,0]$. Так тоже не эквивалентны?

Вы же оставили точку $t=-\pi$, а про неё сами же писали

Kleon в сообщении #1338935 писал(а):

Но тогда, например кривая $x(t)=\cos t$, $y(t)=0$, $t\in[-\pi,\pi]$ не гладкая кривая из-за того что условие 2) не выполняется при $t=\pm\pi$.

Так что нет, в этом смысле тоже не эквиваленты. Вот если бы исключить из обоих описаний крайние точки ...

(Аналогия)

Мне это в какой-то мере напомнило появление артефактов в полярной системе координат при нулевом радиусе при отсутствии их в декартовой: объект один и тот же, а вот его описания не всегда эквиваленты и не всегда имеют одинаковые свойства. Так и тут, только разные не системы координат, а параметризации.

[thething]

Kleon в сообщении #1338946 писал(а):

хотел написать для первой кривой $t\in[-\pi,0]$. Так тоже не эквивалентны?

Если под эквивалентностью понимать совпадение множества точек и направлений движения, то да, эквивалентны.