Задача о вписанном и описанном многоугольнике

[Thinker]

Здравствуйте!
Мне приснилась такая задача:

Докажите, что вписанный (описанный) многоугольник обладает максимальной (минимальной) площадью, если и только если он правильный.

Можно ли считать достаточно строгим следующее доказательство?

Положим, n-угольник вписан в единичную окружность. Проведя радиусы к каждой из вершин n-угольника, разобьем его на n треугольников. Углы, заключенные между соседними радиусами, обозначим через $\alpha_i$. Тогда площадь n-угольника S может быть вычислена по формуле:

$$S = \frac12\sum\limits_{i = 1}^{n}\sin\alpha_i$$

Поскольку при интересующих нас значениях $\alpha$ синус есть функция выпуклая, максимум S достигается в случае правильного n-угольника.

Пусть теперь n-угольник описан около единичной окружности. Проведя радиусы к каждой из точек касания окружности и сторон n-угольника, разобьем его на n четырехугольников. Углы n-угольника обозначим через $2\alpha_i$. Тогда площадь n-угольника S может быть вычислена по формуле:

$$S = \sum\limits_{i = 1}^{n}\ctg\alpha_i$$

Поскольку при интересующих нас значениях $\alpha$ котангенс есть функция вогнутая, минимум S достигается в случае правильного n-угольника.

[grizzly]

Thinker в сообщении #1338796 писал(а):

Проведя радиусы к каждой из вершин n-угольника, разобьем его на n треугольников.

Может на $n$, а может и не на $n$. Рассмотрите, для примера, случай, когда весь многоугольник лежит по одну сторону от диаметра или вообще одна сторона лежит на диаметре.

Thinker в сообщении #1338796 писал(а):

Тогда площадь n-угольника S может быть вычислена по формуле:

$$S = \frac12\sum\limits_{i = 1}^{n}\sin\alpha_i$$

Тоже не факт.

[Thinker]

То есть сначала надо доказать, что центр окружности лежит внутри многоугольника? Добро. А с остальным Вы согласны? Меня почему-то смущает еще одно место в моем доказательстве.

[grizzly]

Thinker в сообщении #1338808 писал(а):

А с остальным Вы согласны?

Не знаю. Решаю проблемы по мере их поступления :)

Давайте смотреть дальше. Выпуклой функцией называется обычно что-то другое. Если пользуетесь нестандартной терминологией, то хотя бы говорите "выпуклая вверх".

Thinker в сообщении #1338808 писал(а):

Поскольку при интересующих нас значениях $\alpha$ синус есть функция выпуклая, максимум S достигается в случае правильного n-угольника.

И вот это, пожалуйста, распишите чуть подробнее, чтобы его можно было проверить.

[Thinker]

Вот тут и есть основная проблема. Вразумительно изложить свою мысль я могу только на примере вписанного четырехугольника. Если это квадрат, то все синусы принимают максимальное значение. Если уменьшить или увеличить хотя бы один из углов $\alpha_i$, то его синус уменьшится, а заодно уменьшится синус по меньшей мере одного из оставшихся 3 углов (так как их общая сумма составляет $2\pi$), следовательно, любой другой четырехугольник обладает меньшей площадью.
Что касается n-угольника ($n > 4$), то я рассуждаю примерно так. Пусть n-угольник правильный. Тогда, немного увеличив один из углов $\alpha_i$, мы, конечно, увеличим и $\sin\alpha_i$, но зато одному или нескольким другим углам $\alpha_i$ придется уменьшиться (так как их общая сумма составляет $2\pi$). А поскольку производная функции $\sin\alpha$ слева от точки $\alpha_i$ больше, чем справа, это заметнее отразится на сумме синусов и уменьшит ее. Следовательно, любой другой n-угольник обладает меньшей площадью.

[grizzly]

Thinker
Для квадрата Вы всё верно рассуждаете. В общем случае Ваше рассуждение недостаточно строгое, но в качестве аргументации "на пальцах", почему утверждение верно, оно понятно.

А вообще упоминание выпуклой вверх функции было уместно. Просто нужно было затем воспользоваться одним из основных свойств таких функций -- неравенством Йенсена. Например, в таком виде:

$$ \sin\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\ge \frac{\sin(x_1)+\cdots +\sin(x_n)}{n}, $$

где равенство возможно только при равенстве всех $x_i$.

[Thinker]

О неравенстве Йенсена я не знал (хотя, как видим, о чем-то подобном догадывался). Спасибо, Вы расширили мой кругозор