Определение o(f)

[Ivan_B]

Зорич(стр 161) писал(а):

Определение 19. Говорят, что функция $f$ есть бесконечно малая по сравнению с функцией $g$ при базе $\mathcal{B}$ и пишут $f=_\mathcal{B} o(g)$ или $f=o(g)$ при $\mathcal{B}$, если финально при базе $\mathcal{B}$ выполнено соотношение $f(x)=\alpha(x)\cdot g(x)$, где $\alpha$ — функция, бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$.

Получается, что есть определение монолитной записи $f=o(g)$, но для самого $o$ определения как бы нет.

Зорич(стр 168) писал(а):

Утверждение 4. При данной базе:
а) $o(f)+o(f)=o(f)$
б) ....
.....
Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть». Сами символы $o(\cdot)$, $O(\cdot)$ обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асимптотического поведения.
.....
После сделанного уточнения утверждение а) перестает выглядеть неожиданным. Первый символ $o(f)$ в нем означает некоторую функцию вида $\alpha_1(x)f(x)$, где $\lim\limits_\mathcal{B}\alpha_1(x)=0$. Второй символ $o(f)$, который можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от первого, означает некоторую функцию вида $\alpha_2(x)f(x)$, где $\lim\limits_\mathcal{B}\alpha_2(x)=0$ Тогда $\alpha_1(x)f(x)+\alpha_2(x)f(x)=(\alpha_1(x)+\alpha_2(x))f(x)=\alpha_3(x)f(x)$, где $\lim\limits_\mathcal{B}\alpha_3(x)=0$

Правильно ли будет написать так $o(f(x)):=\alpha(x)\cdot f(x)$, где $\alpha(x)$ - некоторая функция, о которой известно что $\lim\limits_\mathcal{B}\alpha(x)=0$ И использовать это определение вместо того, которое в учебнике(если считать, что оно там есть)

[thething]

Ivan_B в сообщении #1338641 писал(а):

Правильно ли будет написать так $o(f(x)):=\alpha(x)\cdot f(x)$

Правильно, если укажете, при какой базе

Ivan_B в сообщении #1338641 писал(а):

И использовать это определение вместо того, которое в учебнике(если считать, что оно там есть)

В процитированном Вами первом фрагменте ровно то же и написано (по крайней мере так и надо трактовать), только, как $o(g):=\alpha\cdot g$

А ещё есть такое определение: $f=o(g)$ при $x\to a$, если $\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1338641 писал(а):

Правильно ли будет написать так $o(f(x)):=\alpha(x)\cdot f(x)$, где $\alpha(x)$ - некоторая функция...

Лучше так не писать; лучше вообще не писать равенство функции о-малому в обратную сторону. И, скорее всего, Вы сейчас понимаете это не совсем правильно.

Лучше будет понимать так, что $o(f)$ -- класс (множество) всех таких функций $g$, что $g(x)=\alpha (x)\cdot f(x)$ для некоторой бесконечно малой по базе функции $\alpha $. И было бы чуть правильнее вместо $g=o(f)$ писать $g\in o(f)$, то есть $g$ принадлежит этому множеству функций. (Но сила традиции и некоторого удобства в данном случае слишком велика.) Как раз поэтому в приведенной Вами цитате сделана оговорка, что знак равно следует понимать как "есть".

[demolishka]

Почитайте введение из "Асимптотических методов в анализе" Де Брейна. Потом вернитесь к ужасному современному определению и попробуйте увидеть в нем прочитанные в Де Брейне идеи.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1338644 писал(а):

Правильно, если укажете, при какой базе

Ну я ее как бы указал в описании того что такое $\alpha(x)$

thething в сообщении #1338644 писал(а):

В процитированном Вами первом фрагменте ровно то же и написано

Наболело, поэтому напишу. Там написан текст, который вызывает у меня взрыв мозга.
Первая проблема:
Пусть $f(x)=x^3$ и $g(x)=x$. Очевидно $f(x)=o(g(x))$ при $x\to0$.
Пуcть $\alpha(x)=x$ Очевидно $\lim\limits_{x\to 0}\alpha(x)=0$
А вот если формально подставить все это в определение, то получится что $x^3=x^2$
В том определении не написано ничего о том какая эта $\alpha$. Вот я и взял любую.
Любая не подходит, а какую нужно брать - не написано. Получается что определение, на самом деле, ничего не определяет.

Вторая проблема:
$x^3=o(x)$, $x^2=o(x)$, значит или $x^3=x^2$ или знак равенства - это что угодно, но не равенство.

grizzly в сообщении #1338652 писал(а):

Лучше будет понимать так, что $o(f)$ -- класс (множество)

Как тогда быть с умножение и сложением?

grizzly в сообщении #1338652 писал(а):

И, скорее всего, Вы сейчас понимаете это не совсем правильно.

В моем понимании $o(f(x))$ - сокращенная запись(не функция, не множество, не число) на случай если не хочется писать следующее: "$\alpha(x)\cdot f(x)$, где $\alpha(x)$ - некоторая функция, о которой известно что $\lim\limits_\mathcal{B}\alpha(x)=0$"
После этого можно складывать, умножать и писать знак равенства в обычном смысле.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1338693 писал(а):

Пусть $f(x)=x^3$ и $g(x)=x$. Очевидно $f(x)=o(g(x))$ при $x\to0$.
Пуcть $\alpha(x)=x$ Очевидно $\lim\limits_{x\to 0}\alpha(x)=0$
А вот если формально подставить все это в определение, то получится что $x^3=x^2$
В том определении не написано ничего о том какая эта $\alpha$. Вот я и взял любую.

Альфа в определении -- не любая, а какая-то, т.е. у Вас в примере $x^3=x^2\cdot x$, поэтому $\alpha = x^2$. Т.е. альфу надо как-то суметь выделить из данной функции, а не задать произвольно безотносительно к исходной функции.

Ivan_B в сообщении #1338693 писал(а):

Вторая проблема:
$x^3=o(x)$, $x^2=o(x)$, значит или $x^3=x^2$ или знак равенства - это что угодно, но не равенство.

А вот тут это не равенство, а как раз "есть". Если Вы напишете $x^3=\alpha(x)\cdot x$, $x^2=\beta (x)\cdot x$, то уже не получится так просто взять и приравнять, правда?

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1338693 писал(а):

Как тогда быть с умножение и сложением?

Вы имеете в виду формулу $o(f)+o(f)=o(f)?$ Так ведь именно так очень удобно понимать: сумма любых двух функций, принадлежащих множеству $o(f)$, также будет принадлежать этому множеству.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1338697 писал(а):

Т.е. альфу надо как-то суметь выделить из данной функции, а не задать произвольно безотносительно к исходной функции.

Это я понял, но в определении я этого не вижу.

thething в сообщении #1338697 писал(а):

Альфа в определении -- не любая, а какая-то

Какая-то(не любая) значит удовлетворяющая некоторым условиям. Условие в определении одно "...где $\alpha$ — функция, бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$." О том, что она должна делать равенство верным ничего не написано, поэтому $\alpha(x)=x$, при $x\to 0$ удовлетворяет условиям определения, в то же время $f(x)=x^3\neq x \cdot x$, значит $x^3 \neq o(x)$, при $x\to 0$ по определению.

grizzly в сообщении #1338700 писал(а):

Так ведь именно так очень удобно понимать: сумма любых двух функций, принадлежащих множеству $o(f)$, также будет принадлежать этому множеству.

С умножением и делением так работать не будет, не могу уловить закономерность.

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1338727 писал(а):

Условие в определении одно "...где $\alpha$ — функция, бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$." О том, что она должна делать равенство верным ничего не написано

Там неявный квантор существования по $\alpha$. Т.е. читать так: "$f = o(g)$, если существует такая $\alpha$, что $f = \alpha \cdot g$ и $\alpha$ - бесконечно малая".

Ivan_B в сообщении #1338727 писал(а):

С умножением и делением так работать не будет

С умножением будет. А делить нельзя, т.к. тождественно нулевая функция тоже входит в $o(f)$.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1338727 писал(а):

О том, что она должна делать равенство верным ничего не написано

Как же не написано? Как раз в этом месте $f(x)=\alpha (x)\cdot g(x)$ и написано. Сравните: "...$\forall \alpha(x)$ $f(x)=\alpha (x)\cdot g(x)...$" и "...если $f(x)=\alpha (x)\cdot g(x)$, где $\alpha (x)...$".

Как раз видно, что в какой записи является первичным.

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1338728 писал(а):

С умножением будет.

Если я ничего не напутал, то $o(f)o(f)=o(f^2)$, поэтому не будет.

thething в сообщении #1338730 писал(а):

Как же не написано? Как раз в этом месте $f(x)=\alpha (x)\cdot g(x)$ и написано.

Пример "$x_0$ - корень уравнения $f(x)=0$, если $f(x_0)=0$" Здесь выполнение или не выполнение равенства является критерием. В исходном определении - нет. Почему?

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1338741 писал(а):

Если я ничего не напутал, то $o(f)o(f)=o(f^2)$, поэтому не будет.

Ну да, левая и правая части совпадают как множества. В чем проблема-то?

Ivan_B в сообщении #1338741 писал(а):

В исходном определении - нет. Почему?

Потому что определяется $o$, а не $\alpha$. Формулировка, возможно, не совсем удачная (в матанализе вообще любят странное обращение с кванторами).
Более аккуратно я написал выше.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1338741 писал(а):

Пример "$x_0$ - корень уравнения $f(x)=0$, если $f(x_0)=0$"

Пример несколько не о том (вы же про произвольность\не произвольность альфа говорили). Определение тоже работает в обе стороны: "если $f=o(g)$, то $f=\alpha\cdot g$" и "если $f=\alpha\cdot g$, то $f=o(g)$". И здесь, если равенство не выполняется (ни при каком альфа), то не будет и о-малой.

А вот если есть запись $f=o(g)$, то понимать символ "равно" надо, как "есть", т.е. нельзя писать $o(g)=f$

При этом никто не запрещает написать $o(g)=\alpha\cdot g$, понимая тут, по определению, "равно".

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1338742 писал(а):

В чем проблема-то?

По аналогии должно было получится $o(f)$. Скорее всего, я вообще не понял идею.

mihaild в сообщении #1338742 писал(а):

Потому что определяется $o$, а не $\alpha$.

Этого я понять не могу. Скорее всего, каких-то знаний не хватает. Главное, что определение понял.

thething в сообщении #1338744 писал(а):

нельзя писать $o(g)=f$

Почему?

thething в сообщении #1338744 писал(а):

При этом никто не запрещает написать $o(g)=\alpha\cdot g$, понимая "равно".

Пусть $\alpha\cdot g = f$, тогда $o(g)=f$

Мне нужно подумать. Еще раз все прочесть.
Или попробовать решить какое-нибудь упражнение, для решения которого требуется четкое понимание что такое $o(f)$.
Или вообще решать упражнения, а там видно будет.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1338749 писал(а):

thething в сообщении #1338744

писал(а):
нельзя писать $o(g)=f$
Почему?

Вот тут как раз сами поймёте на конкретном примере.

Ivan_B в сообщении #1338749 писал(а):

Пусть $\alpha\cdot g = f$, тогда $o(g)=f$

Вы смешиваете в одну кучу два варианта определения. Определение либо дается через $f=o(g),...$, либо просто $o(g)=\alpha \cdot g$