Магнитное поле на расстоянии от ферромагнетика

[Physman]

Снова проблема.

Kamaz в сообщении #1335037 писал(а):

Ответ:

$$B_z(r,z)=2\pi mR\int\limits_{0}^{\infty}J_0(qr)J_1(qR)e^{-q|z|}qdq$$

Я решил проверить этот ответ, и у меня возник вопрос. Итак, действительно, векторный потенциал ЭМ поля можно представить в виде:

$$\vec{A}(\vec{q})=m(\vec{q})\vec{U}(\vec{q}),$$

где

$$m(\vec{q})=\int d\vec{r}\mathrm{e}^{-i\vec{q}\vec{r}}m(\vec{r})=\int_0^\infty rdr\int_0^{2\pi}d\varphi\int dz \mathrm{e}^{-iq_\parallel r \cos{\varphi}-iq_zz}M\theta(R-r)\delta(z)=2\pi M\frac{R}{q_{\parallel}}J_1(q_{\parallel}R)$$

и

$$\vec{U}(\vec{q})=\int d\vec{r}\mathrm{e}^{-i\vec{q}\vec{r}}\frac{\vec{e}_z\times\vec{r}}{r^3},$$

где $\vec{r}=(x,y,z)$. Отсюда получаем $\vec{e}_z\times\vec{r}=\vec{e}_x(-y)+\vec{e}_yx+\vec{e}_z\cdot 0$. Тогда получаем:

$$U_x(\vec{q})=U_z(\vec{q})=0,$$

$$U_y(\vec{q})=\int d\vec{r}\mathrm{e}^{-i\vec{q}\vec{r}}\frac{x}{(x^2+y^2=z^2)^{3/2}} =\int_0^\infty rdr\int_0^{2\pi}d\varphi\mathrm{e}^{-iq_{\parallel}r\cos{\varphi}}r\cos{\varphi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-iq_zz}\frac{1}{(R^2+z^2)^{3/2}}$$ $$=2|q_z|\int_0^{\infty}rdrK_1(q_zr)(-2\pi iJ_1(q_{\parallel}r))=-4\pi i \frac{q_{\parallel}}{q_z^2+q_{\parallel}^2}.$$

Теперь находим поле:

$$\vec{B}(\vec{r})=\int \frac{d\vec{q}}{(2\pi)^3}~i\vec{q}\times\vec{A}(\vec{q})\mathrm{e}^{i\vec{q}\vec{r}},$$

в частности

$$B_z(\vec{r})=i\int d\vec{q}~\left(\textcolor{red}{q_x}U_y(\vec{q})m(\vec{q})\right)\mathrm{e}^{i\vec{q}\vec{r}}=$$

.

$$=\frac{4\pi}{(2\pi)^3}2\pi M R\int dq_z\int q_{\parallel}dq_{\parallel}\int d\varphi \frac{\textcolor{red}{q_x}q_{\parallel}}{q_{\parallel}(q_z^2+q_{\parallel}^2)}J_1(q_{\parallel}R)\mathrm{e}^{iq_\parallel r \cos\varphi+iq_zz}.$$

Вот здесь и кроется проблема - в этом самом $q_x=q_{\parallel}\cos{\varphi}$. Из-за него получается чушь:

$$B_z(r,z)=2\pi MR\int\limits_{0}^{\infty}\textcolor{red}{i J_1(qr)}J_1(qR)e^{-q|z|}qdq$$

.

Чтобы ответ был правильный, нужно, чтобы не было никакого $q_x$ там (которое даёт косинус, как следствие $J_1$ вместо $J_0$ и мнимую единицу). Нужно $q_\parallel$.

Но я не могу найти ошибку! Видимо, она где-то в совмещении полярных и декартовых координат, но где?

[rustot]

Physman в сообщении #1334870 писал(а):

Хотелось бы почитать какую-нибудь литературу по теме, откуда взята эта теория (подход), где можно посмотреть вид "вашего" потенциала. Исходные формулы не должны быть слишком громоздкие.

Вам нужно найти поле, создаваемое средой с намагниченностью $\vec{M}$. то есть заданное производными:

$\nabla\vec{B} = 0$
$\nabla\times\vec{B} = 4\pi \nabla\times\vec{M}$

Но вы можете схитрить и вместо него искать другое поле, а именно поле $\vec{B} - 4\pi\vec{M}$. А потом к результату просто прибавить $4\pi\vec{M}$ и получить искомое $\vec{B}$. (вне магнита $\vec{M}$ нулевое и там ничего и прибавлять не нужно). Это условное поле задано уже другими производными

$\nabla(\vec{B} - 4\pi\vec{M}) = -4\pi\nabla\vec{M}$
$\nabla\times(\vec{B}-4\pi\vec{M}) = 0$

То есть вы решаете уже задачу про поле с нулевым ротором, а не нулевой дивергенцией. Которая как можно заметить эквивалентна задаче электростатики, в котором роль плотности заряда выполняет $-\nabla\vec{M}$:

$\nabla\vec{E} = 4\pi\rho$
$\nabla\times\vec{E} = 0$

То есть решать ее можно тем же способом, через "потенциал", создаваемый "зарядом" с плотностью $-\nabla\vec{M}$

Если магнитик однородно намагничен и $\vec{M}$ упирается в поверхность везде под прямым углом то $-\nabla\vec{M}$ представляет собой тонкую пленку там где $\vec{M}$ упирается в поверхность с поверхностной плотностью аккурат $\pm |\vec{M}|$. с плюсом там где упираются стрелочки и с минусом там где упираются хвосты

Такое решение не то чтобы арифметически проще прямого расчета через ротор, просто оно "привычнее", под него есть множество уже готовых ответов. Тот же ваш намагниченный пареллелепипед в этом решении эквивалентен задаче про электрическое поле плоского конденсатора с прямоугольными пластинами (идеализированного до равномерной плотности заряда на пластинах), для которого вы можете вполне разыскать готовые приближенные уравнения или численную программку

[Physman]

rustot, спасибо за дополнительные пояснения. Я согласен, что так тоже можно решать - проводя аналогию с электрическим полем.

Мы просто уже вроде как к ответу пришли, честно считая ротор $A$, но есть загвоздка в решении (которое я привёл в деталях в предыдущем сообщении). И бросать на этом месте не хочется.

(Если в моих выкладках остались серые места (как любят писать в статьях и книжках, "легко получить, что...", а на самом деле нелегко) - я готов дать пояснения и промежуточные выкладки.)

[drug39]

rustot в сообщении #1336790 писал(а):

То есть решать ее можно тем же способом, через "потенциал", создаваемый "зарядом" с плотностью $-\nabla\vec{M}$

Процитируйте, пожалуйста, где это в литературе..

rustot в сообщении #1336790 писал(а):

Тот же ваш намагниченный пареллелепипед в этом решении эквивалентен задаче про электрическое поле плоского конденсатора с прямоугольными пластинами (идеализированного до равномерной плотности заряда на пластинах), для которого вы можете вполне разыскать готовые приближенные уравнения или численную программку

Поле равномерно намагниченного параллелепипеда и прочих многогранников считается точно.

[rustot]

drug39 в сообщении #1337166 писал(а):

Процитируйте, пожалуйста, где это в литературе..

Что именно процитировать? Уравнения Максвелла? Или найти в точности такой же вывод из них?

drug39 в сообщении #1337166 писал(а):

Поле равномерно намагниченного параллелепипеда и прочих многогранников считается точно.

В каком смысле "точно". В виде конечного размера аналитической формулы, в которую подставляешь координаты в которых ищется поля и размеры магнита, а на выходе величина поля? Нет, не решается. Численно - до любой требуемой погрешности, но не "точно".

[drug39]

rustot, у меня возникло впечатление, что Вы даёте что-то типа метода магнитных зарядов для случая $M\ne \text{const}$, либо это такая трактовка статической магнитоэлектрической аналогии. Поэтому интересуюсь, где это в литературе.

rustot в сообщении #1337267 писал(а):

В каком смысле "точно". В виде конечного размера аналитической формулы, в которую подставляешь координаты в которых ищется поля и размеры магнита, а на выходе величина поля?

Именно так.

[amon]

drug39 в сообщении #1337282 писал(а):

интересуюсь, где это в литературе.

Топтыгин И. Н. Современная электродинамика, часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе: Учебное пособие. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005 стр. 165 "Ферромагнетики и спонтанная намагниченность. Скалярный потенциал."

[drug39]

amon, ссылку посмотрел. Для меня это пока ничего не прояснило. Вопрос был о случае $M\ne\text{const}$. Ну да, там говорится о неком неоднородном диэлектрике, в котором величина $\rho_m (\bf r)=-\nabla \cdot \bf M_0 (\bf r)$ "играет роль объёмной плотности сторонних "магнитных зарядов"". В итоге всё cводится к банальному случаю равномерно намагниченного тела. Там не говорится, какую конкретно электростатическую задачу нужно решать взамен магитостатической задачи, чтобы выполнялось это равенство и как потом найти $\bf M(\bf r)$. Выражение типа "играет роль", которое также употребил rustot, меня не устраиваeт. Должно быть выражение плотность зарядов равна тому-то, конкретно. К примеру, какова должна быть электростатическая задача для случая куб (или цилиндр) с магнитной проницаемостью $\mu$ помещён в однородное магнитное поле? Специально не беру эллипсоид, а то любой дурак решит. Или вот более простая задача. Сверхпроводник 1-го рода с формой конечного цилиндра помещён в однородное магнитное поле. Какова эквивалентная электростатическая задача, которую мы, допустим, решим. И как оттуда выразить $\bf M(\bf r)$.

[rustot]

drug39 в сообщении #1337282 писал(а):

ustot, у меня возникло впечатление, что Вы даёте что-то типа метода магнитных зарядов для случая $M\ne \text{const}$, либо это такая трактовка статической магнитоэлектрической аналогии. Поэтому интересуюсь, где это в литературе.

Так оно же просто в лоб выводится из уравнений Максвелла для любого $\vec{M}$, хоть однородного хоть нет. Зачем для этого какая то отдельная литература?

drug39 в сообщении #1337830 писал(а):

К примеру, какова должна быть электростатическая задача для случая куб (или цилиндр) с магнитной проницаемостью $\mu$ помещён в однородное магнитное поле?

Нет, вот такая задача решается уже совсем по другому. Тут же не дано $\vec{M}$ а его наоборот требуется найти. Величина $\vec{M}$ явлвяется следствием поля $\vec{M} = k\vec{B}$ и в то же время вносит свой вклад в поле, и уже суммарное поле опять определяет $\vec{M}$. Система с обратной связью

А метод расчета через дивергенцию $\vec{M}$ это куда более простая задача когда задано готовое $\vec{M}$. Про постоянный магнит. Хоть однородно намагниченный хоть нет, но не меняющий эту намагниченность

[Munin]

drug39 в сообщении #1337830 писал(а):

К примеру, какова должна быть электростатическая задача для случая куб (или цилиндр) с магнитной проницаемостью $\mu$ помещён в однородное магнитное поле?

Она аналогична задаче с диэлектриком проницаемостью $\varepsilon=-\mu.$ (Кажется, минус.)

Разумеется, методы решения этой задачи - сложнее. Они могут быть итерационными, как замечает rustot, особенно для нелинейных $\mu.$ Но сама аналогия от этого никуда не девается.

[drug39]

rustot, это в каких задачах функция $\vec M(\vec r)$ заранее задана?... Обычно всё сводят к задаче о равномерно намагниченном теле и ограничиваются этой задачей, как и топикстартер. Для метода магнитных зарядов можно обойтись и без уравнений Максвелла, а введение псевдоскалярного потенциала или векторного потенциала видится излишеством и дурью. Поскольку совершенно не очевидно, как ставить эквивалентную электростатическую задачу с этими потенциалами даже в тех простых случаях, которые я назвал выше. Что же касается аналогии, вот простейшая трактовка. Как известно, поля точечных электрического и магнитного диполей описываются совершенно подобными формулами $ \vec E =3(\vec p\vec r)\vec r /r^5-\vec p/r^3 $ и $ \vec B =3(\vec m\vec r)\vec r /r^5-\vec m/r^3$ соответственно. Отсюда вся суть и следует. А именно, следует мнемоническое правило. Напряженность магнитного поля $\vec H$ тела с намагниченностью $\vec M$ равна напряженности электрического поля $\vec E$ такого же тела с поляризованностью $\vec P$, равной $\vec M$. Всё это в системе СГС. И этого достаточно. Заряды, возникающие при этом подходе просто условимся называть "магнитными". Да, есть ещё 2-я часть этого мнемонического правила. Индукция электрического поля $\vec D$ тела с поляризованностью $\vec P$ равна индукции магнитного поля $\vec B$ такого же тела с намагниченностью $\vec M$, равной $\vec P$. Токи, возникающие при этом подходе тоже надо как-то условно назвать, скажем, токами "электростатического рода". Ну вот и обошлись без уравнений Максвелла и без использования псевдоскалярного и векторного потенциалов. Если не считать, что для доказательства формулы $ \vec B =3(\vec m\vec r)\vec r /r^5-\vec m/r^3$, которую можно просто знать, надо бы знать и закон Био-Савара, который в свою очередь может следовать из уравнений Максвелла. С этой трактовкой я готов дать эквивалентную электростатическую задачу по крайней мере для случая сверхпроводника произвольной формы, помещенного в однородное магнитное поле.

Munin в сообщении #1338097 писал(а):

Она аналогична задаче с диэлектриком проницаемостью $\varepsilon=-\mu.$ (Кажется, минус.)

Если бы было так просто... Возьмите $\mu\to0$ хотя бы для случая шара.

[rustot]

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

то в каких задачах функция $\vec M(\vec r)$ заранее задана?.

Найти поле постоянного магнита

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

Поскольку совершенно не очевидно, как ставить эквивалентную электростатическую задачу с этими потенциалами даже в тех простых случаях, которые я назвал выше.

Как раз очевидно. Именно из уравнений Максвелла и очевидно что на что можно заменить и в каких случаях.

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

Как известно, поля точечных электрического и магнитного диполей описываются совершенно подобными формулами

Какой то сильно кружной путь сначала из уравнений Максвелла вывести поле диполя, обнаружить эквивалентность для этого частного решения, если это напрямую из уравнений Максвелла делается в одной действие сразу для общего случая, просто заменой переменных

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

Ну вот и обошлись без уравнений Максвелла

Объясните откуда вы взяли поле магнитного диполя, если "обошлись"?

[Munin]

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

Токи, возникающие при этом подходе тоже надо как-то условно назвать, скажем, токами "электростатического рода".

Какие токи? Вы ничего про токи не говорили.

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

Для метода магнитных зарядов можно обойтись и без уравнений Максвелла, а введение псевдоскалярного потенциала или векторного потенциала видится излишеством и дурью.

Скалярный потенциал просто сокращает чисто техническую писанину в 3-10 раз, а так, конечно, "излишество и дурь". Теоретики 19 века просто от блажи его ввели, им бы поставить себе Maple и распечатывать спокойно выражения на страницу размером.

drug39 в сообщении #1338547 писал(а):

Если бы было так просто... Возьмите $\mu\to0$ хотя бы для случая шара.

Что вы имеете в виду?

[drug39]

rustot в сообщении #1338836 писал(а):

Объясните откуда вы взяли поле магнитного диполя, если "обошлись"?

Там сказано, воспользовавшись законом Био-Савара.

Munin в сообщении #1338853 писал(а):

Какие токи? Вы ничего про токи не говорили.

Я имею в виду 2-ю часть магнитоэлектрической аналогии, когда чисто электростатическая задача об электрически поляризованном теле подменяется магнитостатической задачей о намагниченном теле. Как известно, в намагниченном теле имеются макроскопические токи, например, в равномерно намагниченном теле эти токи текут только по поверхности тела. Но токов этих на самом деле нет, также как нету "магнитных" зарядов. Это такой аналог "магнитных" зарядов.

Munin в сообщении #1338853 писал(а):

Что вы имеете в виду?

$\mu=0$. Имеется в виду идеальный диамагнетик. Это может быть сверхпроводник 1-го рода, либо
хороший проводник в высокочастотном поле. Для упрощения задачи возьмите форму шара.

[Munin]

drug39 в сообщении #1338890 писал(а):

Как известно, в намагниченном теле имеются макроскопические токи

Это неверно. Это придумал Ампер в 19 веке, когда ещё не было известно настоящих механизмов магнетизма. (Для некоторых классов магнетиков это даже может быть верно, кажется, но для очень узких.) С тех пор, эту сказочку повторяют в школе, а развенчивают только на курсе ФТТ в вузе. Так что писать такое со словами "как известно" и без кавычек - нехорошо.

drug39 в сообщении #1338890 писал(а):

$\mu=0$. Имеется в виду идеальный диамагнетик. Это может быть сверхпроводник 1-го рода, либо хороший проводник в высокочастотном поле. Для упрощения задачи возьмите форму шара.

Вы что-то путаете. Это не описывается значением $\mu=0.$