Тривиальность импликации

[gogoshik]

Посдкажите, плиз, что означает утверждение, что какая-то импликация тривиальна? Это значит, что она очевидная и мы её можем принять без доказательства?

[arseniiv]

Без доказательства принимать ничего кроме аксиом и определений не надо, но доказательство в данном случае должно быть очевидным. Если возникает вопрос, возможно, стоит попытаться его выписать явно и убедиться, что всё хорошо.

[alcoholist]

"какая-то импликация очевидна? Это значит, что она тривиальная")))
Должна легко выводиться из посылок по законам логики

[gogoshik]

arseniiv в сообщении #1338413 писал(а):

должно быть очевидным

Тогда, что такое "очевидность"? Это разве не субъективный термин?

[mihaild]

Субъективный. И общепринятого формального термина "тривиальная импликация" нет.
(гуглинг обнаруживает пару книг, где он вводится, но там даются разные и вроде бы никак не связанные определения)

[Ioda]

А не могла иметься ввиду тождественная (истинная) при всех значениях булевых переменных ?

[gogoshik]

Допустим у нас есть посылка (или гипотеза) $P$ и заключение $Q $ некоторого утверждения. В этом случае, как я понимаю, "нетривиальность" означает, что $Q$ получается из $P$ не прямым следствием, а цепочкой импликаций (как минимум 2), например $P $\to Q_{1} $\to Q$, а тривиальность сразу $P $\to Q$. Так?

[arseniiv]

Ioda в сообщении #1338420 писал(а):

А не могла иметься ввиду тождественная (истинная) при всех значениях булевых переменных ?

Тогда о ней и говорить нечего. Обычно такие слова используют вместо (части) доказательства. Например, в одну сторону длинное что-то, а в другую куда легче и тратить место не хочется. Часто утверждения с очевидными доказательствами оформляют как следствия некоторой теоремы, вообще не упоминая доказательства.

gogoshik в сообщении #1338421 писал(а):

Так?

Нет, не так. 2 — это искусственный порог, и человек мыслит не совсем как система вывода, чтобы такой счёт чему-то соответствовал. Это субъективное понятие, спору нет. Часто в нём люди сходятся и нередко авторы текстов угадывают, в очевидности чего их аудитория с ними согласится. Это ведь зависит от того, что человек знает и что он, в частности, узнал вот только что на предыдущих страницах.

Например, если у нас книга по какой-нибудь жутко продвинутой комбинаторике, то результаты о количестве сочетаний и некоторые тождества с биномиальными коэффициентами там наверняка будут пропускаться в выкладках, когда используются. Пример дурацкий, другой в голову не пришёл.

-- Ср сен 12, 2018 21:01:55 --

Как одно из «почти определений» очевидности можно привести известную фразу «очевидно то, что легко доказать, а не то, что трудно опровергнуть» — она как минимум даёт две границы — что уж точно очевидно и что уж точно не очевидно, с этой стороны она хороша (а вот точность в неё внести и оставить такой же краткой трудно).

[gogoshik]

Спасибо всем за ответы. Получается, что в любом случае нужно будет доказывать.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1338410 писал(а):

Посдкажите, плиз, что означает утверждение, что какая-то импликация тривиальна? Это значит, что она очевидная и мы её можем принять без доказательства?

Нет. Это означает, что она не интересная. "Не интересность" действительно часто бывает следствием очевидности. Но формального математического определения "очевидности" или "не интересности", естественно, нет.

-- Ср сен 12, 2018 20:32:07 --

Ioda в сообщении #1338420 писал(а):

А не могла иметься ввиду тождественная (истинная) при всех значениях булевых переменных ?

Это называется тавтологией. Если что — это действительно математическое понятие (из исчисления высказываний). В отличие от очевидности или тривиальности.

[gogoshik]

Someone в сообщении #1338448 писал(а):

Это означает, что она не интересная.

Тогда, что такое "не интересная"? Не интересная для кого, для автора утверждения или читателей?

[arseniiv]

Когда как, но если автор общается с читателем через учебник, то обычно он должен угадывать, что будет очевидно читателю, а не себе, поскольку уровень автора будет тогда обычно выше. Он может не очень хорошо угадать в некоторых местах, или читатель попадётся неординарный (в частности, он не выполнил предварительных требований типа тех, какие курсы он должен уже знать).

-- Чт сен 13, 2018 18:56:04 --

И это, очевидно, не математический вопрос, а вопрос прагматики. Автор хочет научить читателя своей готовящейся книги чему-то: что он должен делать, как он должен организовать эту книгу? Не важно, математика это или биология, просто в математике внимание сосредоточено на логической структуре.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1338681 писал(а):

Тогда, что такое "не интересная"?

Я же сказал: формального определения нет. Вдобавок, часто ошибочно употребляется не в своём смысле, а в смысле "очевидно".
Типичный пример: нулевое решение системы однородных линейных алгебраических уравнений в подавляющем большинстве случаев никому не нужно, поэтому оно называется тривиальным. Зато ненулевые решения, если они существуют, обычно представляют большой интерес. Поэтому существуют специальные условия нетривиальной совместности.

Я, конечно, говорю об употреблении этого слова в математике, а не в бытовом языке, где оно означает "неоригинальный, обыкновенный, пошлый, избитый…" Математическое значение "не интересный" явно коррелирует с бытовыми значениями "обыкновенный, избитый".

[gogoshik]

Спасибо.

Ну, вот к чему я это все спрашиваю. Я утверждаю, что: "Если граф планарен, то он реализуем на торе". Могу ли я сказать, что это очевидно (или является тривиальной импликацией)?

[mihaild]

В принципе можете, но зачем? Если где-то нужно это утверждение, то достаточно (и не факт, что необходимо) его просто явно сформулировать. Если сильно хочется - добавив "очевидно, что". Слово "импликация" тут скорее всего вообще не нужно. Хотя зависит от контекста, конечно.