Знакочередование a(n)=a(22+n)

[kthxbye]

Имеем

$$\frac{1}{e^x+\frac{\pi}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$

где

$$F_{n}=a(n)\cdot|F_{n}|$$

тогда

$$a(n)=a(22+n)$$

Аналогично для

$$\frac{1}{e^x+\frac{e}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$

$$a(n)=-a(22^2+n)$$

В общем виде для первого случая

$$a(n)=(-1)^k\cdot(11k+n)$$

и для второго

$$a(n)=(-1)^k\cdot(484k+n)$$

В Maple на моём пк можно вычислить максимум 2293 членов (на пике кушает 1,6 Гб, выдаёт через ~4 минуты 47 секунд). Контрипримеров в этих рамках нет. Что можно подкрутить в Maple чтобы он выдал больше? В каких ещё программах можно провести подобные вычисления, но с большим успехом?

[Dmitriy40]

kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):

$$\frac{1}{e^x+\frac{\pi}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$

Непонятно как раскрывать $0^0$ в первом слагаемом справа при $x=0$.

kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):

$$F_{n}=a(n)\cdot|F_{n}|$$

Надеюсь $F_n$ это числа Фибоначчи, стоило об этом написать прямо. Ну и определять $F_n$ через него же - тавтология, писали бы уж прямо под знаком суммы умножение на модуль (что кстати бессмысленно т.к. все числа Фибоначчи положительны). Короче объясняйте что собственно здесь написано.

kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):

$$a(n)=a(22+n)$$

А первые 22 значения $a(0..21)$ что, можно задать произвольно?! Если нельзя, то приведите их. Ну и обычно задают начальные значения и производящую формулу, а не наоборот.

kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):

В Maple на моём пк можно вычислить максимум 2293 членов (на пике кушает 1,6 Гб, выдаёт через ~4 минуты 47 секунд). Контрипримеров в этих рамках нет.

Т.е. Вы посчитали сумму справа (при каком $x$ кстати?) до $n=2293$ и она - что? И что такое "контрпример" к формуле? При том что слагаемые справа очень быстро убывают и уже 2293-е намного меньше $10^{-6200}$ (если $x=1$ и все $a()$ близки к 1) - т.е. остаток ряда вполне можно ограничить неким другим хорошо сходящимся рядом и доказать сходимость исходной суммы. А уж проверять численно к левой ли части она сходится - извините, не слишком продуктивно, ведь даже триллионы знаков такой гарантии не дадут, так что парой тысяч членов вполне можно ограничиться, точность уже будет порядка 6000 знаков, куда уж больше, ИМХО. Ну или я не понимаю чего-то.

[grizzly]

Dmitriy40
Думаю, что через $F_n$ просто обозначены коэффициенты разложения в ряд. Формула через модуль объясняет, что такое $a(n)$ -- это знаки: или плюс, или минус. Согласен, что записано всё не очень прозрачно, но само по себе наблюдение весьма любопытно.

Эти коэффициенты разложения в ряд как-то легко рассчитываются в мат.пакетах? Действительно, это может быть интересно понять, почему есть такие закономерности, и как они связаны между первой и второй формулой. (Я сам, увы, помочь вряд ли смогу, но мне это любопытно.)

Присоединяюсь к вопросам привести подробнее то, что уже удалось выяснить.

-- 11.09.2018, 12:08 --

Контрпример к формуле -- найти такое $n$, при котором не выполняется $a(n)=a(n+22)$ (для первого случая).

[wrest]

kthxbye
PARI/GP считает и дальше, например $10000$ членов первой последовательности за $40$ секунд.
Но вдруг я чего не так делаю -- сравните знаки $2000,2001,2002$ членов. У меня получились:
$a(1)=1$
$a(2)=-1$
$a(2000)=-1$
$a(2001)=1$
$a(2002)=1$
$a(9997)=1$
$a(9998)=-1$
$a(9999)=-1$
$a(10000)=1$

-- 11.09.2018, 12:53 --

grizzly в сообщении #1338078 писал(а):

Контрпример к формуле -- найти такое $n$, при котором не выполняется $a(n)=a(n+22)$ (для первого случая).

Среди первых $10 000$ членов разложения таких нашлось два:
$n=4137;a(4137)=1;a(4159)=-1$
$n=4148;a(4148)=-1;a(4170)=1$
kthxbye
Сорри. Но лучше, конечно, проверить.
Еще возможно у меня смещение в $n$ на единицу (считаю с $1$ а не с $0$).

[kthxbye]

Dmitriy40, grizzly, wrest, благодарю за комментарии!

Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):

Непонятно как раскрывать $0^0$ в первом слагаемом справа при $x=0$.

Как и большинстве случаев, мы принимаем $0^0=1$.

Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):

Надеюсь $F_n$ это числа Фибоначчи, стоило об этом написать прямо. Ну и определять $F_n$ через него же - тавтология, писали бы уж прямо под знаком суммы умножение на модуль (что кстати бессмысленно т.к. все числа Фибоначчи положительны). Короче объясняйте что собственно здесь написано.

Как указал далее grizzly,

grizzly в сообщении #1338078 писал(а):

Думаю, что через $F_n$ просто обозначены коэффициенты разложения в ряд. Формула через модуль объясняет, что такое $a(n)$ -- это знаки: или плюс, или минус.

по аналогии с такими известными тождествами, как

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_{n}\frac{x^n}{n!}$$

или

$$\frac{2}{e^x+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}E_{n}\frac{x^n}{n!}$$

Знакочередование в них, к счастью, на порядок проще.

Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):

А первые 22 значения $a(0..21)$ что, можно задать произвольно?! Если нельзя, то приведите их. Ну и обычно задают начальные значения и производящую формулу, а не наоборот.

В пп я также указал более общий вид этой формулы:

kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):

$$a(n)=(-1)^k\cdot(11k+n)$$

Ниже привожу первые 11 ($n=0\cdots10$) знаков:

$$1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1$$

Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):

Т.е. Вы посчитали сумму справа (при каком $x$ кстати?) до $n=2293$ и она - что? И что такое "контрпример" к формуле? При том что слагаемые справа очень быстро убывают и уже 2293-е намного меньше $10^{-6200}$ (если $x=1$ и все $a()$ близки к 1) - т.е. остаток ряда вполне можно ограничить неким другим хорошо сходящимся рядом и доказать сходимость исходной суммы. А уж проверять численно к левой ли части она сходится - извините, не слишком продуктивно, ведь даже триллионы знаков такой гарантии не дадут, так что парой тысяч членов вполне можно ограничиться, точность уже будет порядка 6000 знаков, куда уж больше, ИМХО. Ну или я не понимаю чего-то.

Эти знаки мне выдал Maple, после того, как я ввел туда следующее:

S:= series(1/(Pi/2 + exp(x)), x, 2294):
seq(signum(coeff(S, x, j)), j=0..2293);

Похожий на этот код я взял из A210247, где его любезно опубликовал некий Robert Israel из Канады, который числится 3-им по рейтингу на MathStackExchange, поскольку преимущественно отвечает там на чужие вопросы, а свои задает редко. Но после того, как я предложил формулу для A210247, он решил сделать небольшое исключение и даже задал целый вопрос, где указал три первых контрпримера.

Отдельная благодарность grizzly за разъяснения и wrest за подсказки. Как разберусь, обязательно поделюсь результатами.

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1338078 писал(а):

Думаю, что через $F_n$ просто обозначены коэффициенты разложения в ряд. Формула через модуль объясняет, что такое $a(n)$ -- это знаки: или плюс, или минус.

А, тогда понятно, надо всего лишь брать знаки производных и проверять что они регулярны. Правда не указано в какой точке, потому что судя по графикам производных из вольфрама знак уже второй (и третьей) производной вполне себе зависит от аргумента.

wrest в сообщении #1338092 писал(а):

У меня получились:
$a(1)=1$
$a(2)=-1$

А у меня другие:
$a(0)=+1$ (вольфрам),
$a(1)=-1$ (вольфрам),
$a(2)=-1$ (вольфрам),
$a(3)=+1$ (вольфрам).

kthxbye
PS. Самоустраняюсь, тут я не копенгаген.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1338101 писал(а):

А у меня другие:

Да, у меня смещение в индексах на единицу (PARI считает с единицы а не с нуля - моё упущение).
Первые 22 знака: +--++--++---++--++--++

Так что в моих текстах выше вместо $a(1)$ надо читать как $a(0)$ и т.п. Соответственно первый контрпример $a(4136)\ne a(4136+22)$

Вот как выглядит "сбой" если записать знаки в строки по 22 на строку и строки пронумеровать с нуля

000:+--++--++---++--++--++
...
185:+--++--++---++--++--++
186:+--++--++---++--++--++
187:+--++--++---++--++--++
188:+--++--++---++--++--++
189:---++--++--+++--++--++
190:---++--++--+++--++--++
191:---++--++--+++--++--++
192:---++--++--+++--++--++

[wrest]

kthxbye
Вот вам текст на PARI/GP как я делал.

1. ?default(parisizemax,10^9) \\ устанавливаем размер стека в гигабайт 
2. *** Warning: new maximum stack size = 1000000000 (953.674 Mbytes). 
3. ?\ps 10000 \\ устанавливаем количество членов разложения по умолчанию в 10000 
4. seriesprecision = 10000 significant terms 
5. ?kill(x) \\ если была такая переменная - уничтожаем 
6. ?y=taylor(1/(exp(x)+Pi/2),x); \\раскладываем в ряд Тейлора вокруг нуля, разложение сохраняем в переменной y 
7. *** exp: Warning: increasing stack size to 16000000. 
8. *** exp: Warning: increasing stack size to 32000000. 
9. *** exp: Warning: increasing stack size to 64000000. 
10. *** exp: Warning: increasing stack size to 128000000. 
11. *** _+_: Warning: increasing stack size to 256000000. 
12. ## \\ спрашиваем сколько заняло времени разложение 
13. *** last result computed in 25,319 ms. 
14. ?a=vector(10000,i,sign(component(y,i))); \\ теперь в векторе (массиве) a - знаки коэффициентов, индексы смещены на единицу 
15. ?for(n=1,10000-22,if(a[n]!=a[n+22],print(n-1))) \\ печатаем n для которых формула неверна, учитываем смещение индексов 
16. 4136 
17. 4147 

Руками печатаете в программу то, что выше написано после знака вопроса и до начала комментария \\, в конце строки нажимаете Enter. Те строки, что не начинаются со знака вопроса -- это то, что печатает программа в ответ.

Получается как-то так:

(скриншот, PARI/GP для windows)