В книжке В.А. Васильева приводится следующее неполное доказательство того, что фундаментальная группа окружности изоморфна группе
.
Обдумав написанное, я понял, как устанавливается сюръекция из мн-ва всех непрерывных функций на отрезке, для которых
, в мн-во петель, принадлежащих классам гомотопности фундаментальной группы
. Так, что каждая такая функция определяет петлю, а каждой петле соответствует единственная функция с точностью до прибавления целого числа. Но нам нужно перечислить не петли, а элементы фундаментальной группы - то есть классы эквивалентности гомотопных петель.
В связи с этим я рассуждал следующим образом: профакторизуем функции по равенству значений в точке
- где они все принимают целые значения. Тогда функции из разных классов эквивалентности не могут отображаться в петли из одного класса, поскольку гомотопия петель должна индуцировать гомотопию функций, что невозможно при разных целых значениях в единице. По сюръективности для каждого класса петель найдётся соответствующий класс функций. Причём, единственный, как следует из предыдущего рассуждения. А для каждого класса функций найдётся класс петель, потому что каждая функция определяет некоторую петлю. Таким образом нужная биекция установлена.
Я хотел уточнить, верно ли я додумал. Именно принципиально. Строгая запись и, собственно, построение группового морфизма, как я вижу, особых трудностей не сулит.
(Оффтоп)
P.S. Стинрода и Чинна просмотрел: доказательства с первого раза не нашёл, но заметил, что книжка довольно архаичная и как будто не о том. Так что решил с ней не работать.
