Демидович 608

[Ivan_B]

Доказать теоремы Коши: если функция $f(x)$ определена в интервале $(a;+\infty)$ и ограничена в каждом конечном интервале $(a;b)$, то
а) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x+1)-f(x)]$
предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют.

В своем доказательстве я использовал только существование предела, поэтому не уверен в том, что оно верное. Проверьте, пожалуйста.

По определению, начиная с некоторого $x>x_0$
$a-\varepsilon < f(x+n)-f(x+n-1) < a+\varepsilon$
$a-\varepsilon < f(x+n-1)-f(x+n-2) < a+\varepsilon$
и т.д.
$a-\varepsilon < f(x+1)-f(x) < a+\varepsilon$
Результат сложения этих неравенств:
$n(a-\varepsilon) < f(x+n)-f(x) < n(a+\varepsilon)$
$a-\varepsilon+\frac{f(x)}{n} < \frac{f(x+n)}{n} < a+\varepsilon+\frac{f(x)}{n}$
$\frac{n}{x+n}>0$, начиная с некоторого $n$, поэтому на него можно умножить неравенство
$\frac{n}{x+n}\left(a-\varepsilon+\frac{f(x)}{n}\right) < \frac{f(x+n)}{x+n} < \frac{n}{x+n}\left(a+\varepsilon+\frac{f(x)}{n}\right)$
Левая и правая части неравенства имеют предел $a-\varepsilon$ и $a+\varepsilon$, поэтому начиная с некоторого $n$
$a-(\varepsilon+\varepsilon_1) < \frac{f(x+n)}{x+n} < a+\varepsilon+\varepsilon_1$
Значит $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x+n)}{x+n}=a$, начиная с некоторого $x>x_0$
Любое число $y>x_0$ можно представить в виде суммы $x+n$, где $x_0<x\leqslant x_0+1$, поэтому $\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{f(y)}{y}=a$

[thething]

Недавно обсуждали https://dxdy.ru/post1319225.html

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1336841 писал(а):

пределы в правых частях равенств существуют

В правой части один предел же.

Ivan_B в сообщении #1336841 писал(а):

Значит $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x+n)}{x+n}=a$, начиная с некоторого $x>x_0$
Любое число $y>x_0$ можно представить в виде суммы $x+n$, где $x_0<x\leqslant x_0+1$, поэтому $\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{f(y)}{y}=a$

Нужно чтобы первый предел был равномерным по $x$ (это выполнено, но нужно как минимум это сказать). Иначе может оказаться, что для каждого $x$ стремление по $n$ есть, а вот стремления по $y$ нет.

[Ivan_B]

Прочел про равномерную сходимость. Получается, что при стремлении по $y$ нужно "переключать" $x$. При переключении может меняться $\varepsilon+\varepsilon_1$, поэтому нужно существование произвольно малого $\varepsilon_3$, которое будет верхней границей $\varepsilon+\varepsilon_1$. Существование $\varepsilon_3$ обеспечивается $x_0<x\leqslant x_0 +1$ для $\frac{n}{x+n}$, ограниченностью $f(x)$ в каждом конечном интервале $(a; b)$ для $\frac{f(x)}{n}$ и тем что $\varepsilon$ не меняется для $x>x_0$.

[Ivan_B]

Изначально я думал, что знать о равномерной сходимости необязательно, чтобы решить упражнение 608, но сейчас нашел в упражнении 631 символ $\rightrightarrows$, о значении которого я узнал как раз читая о равномерной сходимости во втором томе Зорича. Получается, что дальше идут упражнения(или часть из них), которые относятся уже ко второму тому Зорича. Стоит ли решать эти(отличить мне их будет трудно) упражнения на этапе прочтения первого тома до пятой главы(в пятой главе начинаются производные)