Построить функцию с заданными свойствами

[assik]

Необходимо подобрать функцию, обладающую следующими свойствами:

$1.\,f(x)$ непрерывна на $[0,\rho];$

$2.\,f(0)=f_0>0,\, f(\rho)=f_1>0$, где $f_1-f_0>0;$

$3.\,f'(x)\geq \frac{x/\rho}{\sqrt{1-(x/\rho)^2}}\,\forall x\in[0,\rho).$

Пытался подбирать в форме

$$f(x)=f_1-(f_1-f_0)\sqrt{1-(x/\rho)^2},$$

$$f(x)=f_0+\frac{2}{\pi}(f_1-f_0)\arcsin{(x/\rho)},$$

но возникают условия на $f_1-f_0$. Может такая функция и не существует вовсе.

[Markiyan Hirnyk]

К интегралу $\int_{0}^{x}\!{\frac {t}{\rho}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{t}^{2}}{{ \rho}^{2}}}}}}}\,{\rm d}t $ прибавьте такую линейную функцию от $x$, чтобы выполнялись краевые условия.

[JohnDou]

$f(x)=1+p-\sqrt{p^2-x^2}$

[arseniiv]

Кстати искать изначально было бы проще, если бы $\rho$ присутствовала в меньшем числе условий — и это как раз можно сделать, рассматривая функцию $f^*(x) = f(x/\rho)$ вместо исходной.

[assik]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1335756 писал(а):

рибавьте такую линейную функцию от $x$, чтобы выполнялись краевые условия.

$$f(x)=f_0+\left(f_1-f_0-\rho\right)\frac{x}{\rho}+\rho-\sqrt{\rho^2-x^2},$$

но для того, чтобы удовлетворить последнее требование необходимо $f_1-f_0-\rho \geq 0$, а это неизвестно.

[EUgeneUS]

assik
Кто-то кого-то хочет запутать.

Так как функция везде на интервале (кроме его концов) строго возрастающая и непрерывная (это гарантирует пункт 3 и 1), то $f_1 - f_0 > 0$ выполняется автоматически, если $f_0$ и $f_1$ определены.
Так как $f_1 - f_0 > 0$ выполняется автоматически, то при $f_0 > 0$ автоматически выполняется $f_1 > 0$.
Итого пункт 2 равносилен условию, что $f_0$ и $f_1$ определены и $f_0 > 0$.

Найдите функцию, удовлетворяющую 1 и 3 и имеющую в точках $x=0$ и $x=\rho$ конечные значения (можно интеграл взять от производной в пункте 3).
И добавьте константу, чтобы $f(0) > 0$.

Всех делов.

[assik]

EUgeneUS в сообщении #1335781 писал(а):

Всех делов.

имелось ввиду, что $f_0$ и $f_1$ заданы. Но вот насчет $\rho$ известно только то, что оно положительно.

[EUgeneUS]

assik в сообщении #1335784 писал(а):

имелось ввиду, что $f_0$ и $f_1$ заданы

Ну вот, кое-кого удалось запутать Но, хорошо.

assik в сообщении #1335778 писал(а):

но для того, чтобы удовлетворить последнее требование необходимо $f_1-f_0-\rho \geq 0$, а это неизвестно.

При $f_1-f_0 < \rho$ искомой функции не существует.

Рассмотрите функции $g(x) =- \sqrt{\rho^2-x^2}$ и $h(x) = f(x) - g(x)$

[assik]

EUgeneUS в сообщении #1335817 писал(а):

Рассмотрите функции

Благодарствую) $h(0)=f_0+\rho$, $h(\rho)=f_1$, а так как $h(x)>0$ то должно $f_0+\rho<f_1.$

[EUgeneUS]

assik
не совсем так

1. Сначала нужно сказать такое заклинание: $h(x)$ непрерывна на $[0,\rho]$ и дифференцируема на $[0,\rho)$ в силу того, что $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны и дифференцируемы там же.

2. $h'(x) \geqslant 0$, а значит (с учетом непрерывности) $h(x)$ - неубывающая.

3. А значит $h(\rho)- h(0) \geqslant 0$