Лёгкий, простой дифур

[Someone]

qweqwe2017 в сообщении #1335746 писал(а):

можно переходить от одного уравнения к другому, заменяя $C$ на $C^2$

Решения могут теряться. Теряются ли они в каком-то конкретном случае, надо проверять отдельно.

И в аналогичных случаях лучше произвольную постоянную записывать в виде $\ln\lvert C\rvert$, и не забывать, что $\int\frac{dx}x=\ln\lvert x\rvert+\mathrm{Const}$, $\int\frac{dy}y=\ln\lvert y\rvert+\mathrm{Const}$ и тому подобное.
Также лучше (но не обязательно) избавиться от дробных множителей перед логарифмами, то есть, записать результат интегрирования в виде

$$2\ln\lvert y\rvert+\ln\lvert 1+y^2\rvert=2\ln\lvert x\rvert+\ln\lvert C\rvert,$$

а уже потом разбираться, везде ли нужен модуль, что будет при $C=0$, какой знак может быть у $C$, и тому подобное.

[Cash]

Если бы вы выписали итоговый ответ, то могли бы и сами ответить на свой вопрос.

По существу, с одной стороны $C^2$ это не совсем $C$. Это $C \geqslant 0$. Или $|C|$.
С другой стороны, это $C^2$ вы получили, совершив неравносильное преобразование (возведение в квадрат).
С третьей стороны, при решении дифуров на неравносильные преобразования многие смотрят сквозь пальцы, отложив разбирательство на потом, но лучше всё-таки воздерживаться от них, насколько это возможно.
А переобозначать константы (вы же это хотели узнать?) нет никакой необходимости.