Полимногочлены

[AGu]

Положим ${\mathbb R}_+=\{x\in{\mathbb R}:x>0\}$.

Пусть ${\mathcal P}$ -- наименьшее множество функций $p:{\mathbb R}_+\to{\mathbb R}$, обладающее следующими свойствами:

1. если $q\in{\mathbb Q}$ и $(\forall\,x\in{\mathbb R}_+)\bigl(p(x)=q\bigr)$, то $p\in{\mathcal P}$;
2. если $p_1,p_2\in{\mathcal P}$, то $p_1+p_2\in{\mathcal P}$ и $p_1\cdot p_2\in{\mathcal P}$;
3. если $p\in{\mathcal P}$ и $(\forall\,x\in{\mathbb R}_+)\bigl(f(x)=x^{p(x)}\bigr)$, то $f\in{\mathcal P}$.

Элементы множества ${\mathcal P}$ условимся называть полимногочленами.

На ${\mathcal P}$ можно выстроить иерархию $({\mathcal P}_k)_{k\in{\mathbb N}}$ следующим образом. Положим ${\mathcal P}_1$ равным множеству рациональных констант и далее по рекурсии определим ${\mathcal P}_{k+1}$ как множество всех функций $p:{\mathbb R}_+\to{\mathbb R}$, представимых в виде $p(x)=\sum\limits_{i=1}^n q_i x^{p_i(x)}$, где $n\in{\mathbb N}$, $q_i\in{\mathbb Q}$ и $p_i\in{\mathcal P}_k$. Ясно, что ${\mathcal P}_k\subseteq{\mathcal P}_{k+1}$ для всех $k\in{\mathbb N}$ и ${\mathcal P}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty {\mathcal P}_k$. Определим функцию $h:{\mathcal P}\to{\mathbb N}$, полагая $h(p)=\min\{k\in{\mathbb N}:p\in{\mathcal P}_k\}$, и назовем $h(p)$ высотой полимногочлена $p$. Иерархия $({\mathcal P}_k)_{k\in{\mathbb N}}$ и функция $h$ могут пригодиться для доказательства свойств полимногочленов индукцией по их высоте.

Гипотеза 1.
Если $p$ -- полимногочлен и $p\not\equiv0$, то множество $\{x\in{\mathbb R}_+:p(x)=0\}$ конечно.

Гипотеза 2.
Для любого полимногочлена $p$ существует предел $\lim\limits_{x\to+\infty}p(x)\in{\mathbb Q}\cup\{-\infty,+\infty\}$.

[worm2]

Как-то у меня в голове не вяжутся эти построения с понятием "олимпиадная задача". Это, скорее, исследование.

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Не очень приятно, что множество полимногочленов не инвариантно относительно сдвига: 1/x - полимногочлен, а 1/(1+x) --- нет.

[AGu]

worm2 писал(а):

Как-то у меня в голове не вяжутся эти построения с понятием "олимпиадная задача". Это, скорее, исследование.

Пожалуй. Тогда это приглашение к исследованию нужно было разместить в корне форума?

worm2 писал(а):

Не очень приятно, что множество полимногочленов не инвариантно относительно сдвига: 1/x - полимногочлен, а 1/(1+x) --- нет.

Ага, тяжела жисть полимногочлена. Чуть сместился -- и уже вне сообщества.

[worm2]

AGu писал(а):

Тогда это приглашение к исследованию нужно было разместить в корне форума?

Ну, скажем так --- логичнее было бы, имхо.

[ddn]

AGu писал(а):

Гипотеза 1.
Если $p$ -- полимногочлен и $p\not\equiv0$, то множество $\{x\in{\mathbb R}_+:p(x)=0\}$ конечно.

Гипотеза 2.
Для любого полимногочлена $p$ существует предел $\lim\limits_{x\to+\infty}p(x)\in{\mathbb Q}\cup\{-\infty,+\infty\}$.

Я понял, что вас интересует. Здесь идет, по-видимому, идет речь о функциях регулярного роста. Область $\mathbb{R}_+$ вы берете чтобы функции были всюду определены на $\mathbb{R}_+$ при возведениях в степень, для чего показатель ограничиваете только самой переменной $x$ (почему еще не положительными $q\in{\mathbb Q}_+$?).
Такими вещами начал заниматься еще Борель, и он доказал что множество степеней роста регулярных функций линейно упорядочено. В старой популярной тоненькой книжечке о нем кратко рассказано об этом. Множество функций у него было обширней,

worm2 писал(а):

Не очень приятно, что множество полимногочленов не инвариантно относительно сдвига: 1/x - полимногочлен, а 1/(1+x) --- нет.

включая и эту: $1/(1+x)=(1+x)^{-1}$, и задано на всем $\mathbb{R}$.
Но всюду-определимость функций уже не гарантировалась, даже на $\mathbb{R}_+$.

По видимому, для доказательства ваших гипотез необходимо устьановить по индукции, что для любых $p_1,p_2\in\mathcal{P}$ при $p_2\not\equiv0$ существует $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{p_1(x)}{p_2(x)}\in\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$, и если при этом $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{p_1(x)}{p_2(x)}=q\in\mathbb{R}$, то $p_1\equiv q\cdot p_2$ (тогда конечно и $q\in\mathbb{Q}$).

[AGu]

Спасибо за ценные замечания, ddn!

[AGu]

"Эффективная" версия гипотезы 1 оказалась справедливой (и известной).

Теорема.
Если полимногочлен $p(x)=\sum_{i=1}^nq_i x^{p_i(x)}$ задан явной формулой (в которой число слагаемых и все рациональные коэфициенты на всех этажах представлены конкретными нумералами) и $p(x)\not\equiv0$, то множество $\{x\in{\mathbb R}_+:p(x)=0\}$ конечно.

В работе A.J.Wilkie "Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function" (J. Amer. Math. Soc. 1996. V. 9, N 4. P. 1051-1094) доказано, что структура $\overline{\mathbb R} = ({\mathbb R},0,1,{+},{-},{\cdot},{<},\exp)$ является o-минимальной. Последнее означает, что область истинности любого одноместного предиката, определимого формулой языка первого порядка этой структуры, представляет собой объединение конечного числа точек и конечного числа ограниченных или неограниченных интервалов. Благодаря тождеству $a^b = \exp\bigl(b\cdot \exp^{-1}(a)\bigr)$ функция $p(x)$ определима в сигнатуре структуры $\overline{\mathbb R}$ и, в частности, одноместный предикат "$p(x)=0$" определим в $\overline{\mathbb R}$. Поскольку функция $p(x)$ аналитична, множество $\{x\in{\mathbb R}_+ : p(x)=0\}$ либо совпадает с ${\mathbb R}_+$, либо не содержит предельных точек и поэтому конечно согласно o-минимальности $\overline{\mathbb R}$.

Все это, разумеется, напоминает пушку, стреляющую по воробьям, но o-минимальность $\overline{\mathbb R}$ сама по себе очень любопытна.