Интегрирование в грассмановой алгебре

[VIP]

Нигде не смог найти почему на антикоммутативной алгебре правила интегрирования определяются как
$\int d\theta_i = 0$, $\int \theta_id\theta_i = 1$,
то есть формально совпадает с дифференцированием.
$\delta(\theta_i - \theta_j) = \theta_i - \theta_j$

Как это следует из определения антикоммунитативности $\theta_i \theta_j = - \theta_j \theta_i$? Если это просто насильственное определение никак не связанное с определением антикоммунитативности, то тогда непонятно - а причем тут антикоммутативность?

[Eule_A]

Читали Ф.А. Березина "Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными"?

[VIP]

Там нет ответа "почему" именно так, там просто написано "определим интеграл по антикоммутирующим переменным" и это определение. А откуда оно взялось, из каких принципов, в чем его резон, почему оно такое, а не другое, просто нету.
Вот понятно как из обычного дифференциала получаются интегралы и их свойства, а вот как из принципа антикоммутации получается такое определение непонятно совсем.

[Eule_A]

Некоторая мотивировочная часть есть у Зинн-Жюстена в "Континуальном интеграле в квантовой механике" (параграф 7.3). Попробуйте там посмотреть. Может быть, так будет лучше. Если нет - предоставляю слово другим, ориентирующимся в вопросе лучше меня.

[VIP]

Мда, там написано просто что интеграл определяется равным дифференциалу и переведены три соображения почему такое определения содержится в определении определенного интеграла. Ну так два из них это просто совпадение свойств определения любого дифференциала и интеграла. То есть, там просто описано почему это определение можно использовать. И опять таки ни слово, а почему оно такое? А не другое? В чем резон? Ну кроме того что можно использовать интегрирование по частям. Почему нельзя обычное определение интеграла ввести? И почему на коммутирующих переменных оно не вводится? Непонятна связь антикоммутации и этого определения, а ведь все свойства интегрирования в грассмановых алгебрах, суперполях, строится на этом определении которое де-факто просто берется с потолка без какой либо логической связи с грассмановыми алгебрами.

[amon]

VIP в сообщении #1335117 писал(а):

Нигде не смог найти почему на антикоммутативной алгебре правила интегрирования определяются как
$\int d\theta_i = 0$, $\int \theta_id\theta_i = 1$,

Гляньте параграф 9.4 "Фермионный осциллятор, грассмановы переменные" учебника В.В. Киселева "Квантовая механика".

[VIP]

Да нет там ничего, просто вводится это определение насильно, причем даже параллельно (независимо) антикомутационным переменным, просто потому что некое квантовое равенство должно быть верным. Никакой причинно-следственной связи антикомутативности и такого интегрирования нету, есть соображения порядка - раз физика такая, значит математику определим так. Из физики определять правила математики? Ну это как-то слишком.

[amon]

VIP в сообщении #1335198 писал(а):

Из физики определять правила математики? Ну это как-то слишком.

А по-Вашему, таблицу умножения и правила дифференцирования математики из головы выдумали?

[VIP]

amon в сообщении #1335202 писал(а):

VIP в сообщении #1335198 писал(а):

Из физики определять правила математики? Ну это как-то слишком.

А по-Вашему, таблицу умножения и правила дифференцирования математики из головы выдумали?

Ну не из правил же что три яблока должно быть равно двум помидорам следовательно 3 = 2 математически. Любое физическое выражение приравнять к любому другому выражению и из этого определять математические правила? Таким образом можно добиться всего чего угодно. Но в данном случае речь идет о причинно-следственных связях из определения понятия антикомутирующих переменных получения определения интеграла без соображений внешнего порядка, оставаясь только в рамках чистой математики.

[Eule_A]

Последний шанс

(Оффтоп)

Хотя у меня такое ощущение, что пока что происходит просто коллекционирование подходов к описанию введения интегрирования по грассмановым переменным. Жаль, математики молчат.

В общем, в книге Э. Зи "Квантовая теория поля в двух словах" в главе II.5, раздел "Грассманова математика", интегрирование вводится ну совсем на пальцах. Там даже слово "фермион" не упоминается. Если и это не подойдёт, то я уж и не знаю...
А к словам amon и его рекомендации я присоединяюсь. Была ещё статья в УФН (том 146, вып. 4, 1985) "Суперсимметрия в квантовой механике" Генденштейна и Криве, но там изложение близко к Киселёву

[arseniiv]

А можно ссылочек добавить:
https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number#Integration — ну и страница целиком вроде обстоятельная (хотя не понимаю, почему не называть всё математическими именами, это же просто внешняя алгебра с дополнительными операциями?).

Мне что-то со своей колокольни подумалось, что специфическая физическая терминология («переменные») и краткость изложения (где она есть) могут запутывать. Правда, по ссылке выше тоже не очень математически ясные определения.

[Someone]

(VIP)

VIP в сообщении #1335198 писал(а):

Из физики определять правила математики? Ну это как-то слишком.

По-моему, нормально. Особенно с учётом того, что получается нечто полезное.
Если Вы думаете, что математики сидят и думают "а как бы что-нибудь эдакое сочинить, совсем ни на что не похожее", то Вы ошибаетесь. Математики если и придумывают какие-нибудь определения (а делают они это довольно часто), то стараются сделать их такими, чтобы это помогло решить какую-нибудь задачу.

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number#Integration

Цитата:

The definition of Grassmann integration needs to have the following properties:


• linearity
  
  $\displaystyle \int \,[a\!f(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta$
• partial integration formula
  
  $\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.$

This results in the following rules for the integration of a Grassmann quantity:


$\displaystyle \int \,1\,d\theta =0$
$\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.$

У меня вопрос, а если написать

• linearity
  
  $\displaystyle \int \,d\theta\,[a\!f(\theta )+bg(\theta )] =a\int \,d\theta f(\theta ) +b\int \,d\theta\,g(\theta )$
• partial integration formula
  
  $\displaystyle \int d\theta\,\left[{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right] =0,$

то что-нибудь поменяется?

[amon]

Munin в сообщении #1335218 писал(а):

то что-нибудь поменяется?

Ничего, поскольку $\displaystyle \int d\theta$ единый символ, и $\displaystyle \int d\theta=\dfrac {\partial }{\partial \theta }.$

-- 29.08.2018, 13:15 --

VIP в сообщении #1335117 писал(а):

Нигде не смог найти почему на антикоммутативной алгебре правила интегрирования определяются как ...

Сделаю еще одну попытку. Этот "интеграл" был придуман Березиным для написания функционального интеграла (ФИ) для фермионных (антикоммутирующих) полей. При таком определении и следующих из него свойствах, ФИ для бозонов и фермионов оказывается формально одинаковым по виду и все формальные операции оказываются очень похожими. В этом, собственно, и заключается сакральный смысл обозначения одной операции двумя символами. Это удобство явно проявляется на уровне полей, но увидеть это можно и в квантовой механике на уровне гармонического осциллятора.

[VIP]

amon, не был он придуман Березиным. И к квантовой механике он имеет отношение только потому что к ней имеет отношения грассманова алгебра в плане описания фермионных полей. Как объясняет Зи, он был введен Грассманом из соображения что его интеграл по определению является только несобственным интегралом (но при этом неопределенный), других интегралов, кроме несобственных, в грассмановой алгебре не существует (ну или они не вводятся, только все равно непонятно почему). А для несобственных интегралов по всему пространству выполняется правило трансляционной инвариантности, которое совпадает с таким же свойством у дифференциалов, поскольку грассмановы функции всегда линейны по своему параметру. Все остальное действительно следует.
То что совпадение дифференциала с интегралом определяется из постулата что интеграл определяется как трансляционно-инвариантный это я знал, только не осознавал как это точно вычисляется и зачем этот постулат нужен (и не понимал что это свойство вводится постулатом), (потому) что грассманов интеграл является по определению несобственным интегралом, но при этом остается неопределенным.