Найти кривую, где площадь области ... равна кубу ординаты

[jdex]

Добрый день! Помогите пожалуйста решить задачу.

Цитата:

Найти кривую, зная, что площадь области, заключенной между осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней, равна кубу этой ординаты.

Вообще-то можно даже ограничится нахождением дифференциального уравнения семейства кривых. Не обязательно находить самую кривую. Но это такое.
Составляем уравнение: $\int\limits_{0}^{y}x(t)dt + C =y^3$. Дифференцируем по $y$: $x(y) = 3y^2$. И на этом месте у меня ступор. Формально получается уравнение кривой. Но ответ неверный. Причем в уравнении даже не возникло производной искомой функции. Плюс никак не видна зависимость от нижнего предела интегрирования. Вижу, что я где-то ошибаюсь: или в рассуждениях, или в составлении уравнения, или где-то еще. Помогите пожалуйста.

[Someone]

jdex в сообщении #1334058 писал(а):

$\int\limits_{0}^{y}x(t)dt + C =y^3$

Вы бы хоть формулу для вычисления площади криволинейной трапеции посмотрели, а то пишете бредятину какую-то.

[thething]

jdex в сообщении #1334058 писал(а):

Составляем уравнение: $\int\limits_{0}^{y}x(t)dt + C =y^3$

А почему верхний предел $y$?

-- 23.08.2018, 12:14 --

Определитесь, что у Вас переменная, что функция, что от чего зависит, и про правило дифференцирования сложной функции не забывайте.

[jdex]

Спасибо за ответы!

thething в сообщении #1334062 писал(а):

А почему верхний предел $y$?

Если я правильно понял условия задачи, то геометрически мы ищем следующую площадь:

thething в сообщении #1334062 писал(а):

Определитесь, что у Вас переменная, что функция, что от чего зависит, и про правило дифференцирования сложной функции не забывайте.

В данном случае у меня $x$ зависит от $y$. Но от этого редька не слаще. Я просто не вижу, где здесь сложная функция. В правой части $y^3$ после дифференцирования по $y$ получается $3y^2$, под интегралом $x$ от $y$ и после дифференцирования по $y$ получается подинтегральная функция $x(y)$. Где здесь я ошибаюсь?

[thething]

Ок, а какая буква на Вашем рисунке играет роль ординаты?

[EUgeneUS]

jdex в сообщении #1334066 писал(а):

Если я правильно понял условия задачи, то геометрически мы ищем следующую площадь:

Нет, не эту. Вы не учитываете условие, выделенное ниже жирным.

jdex в сообщении #1334058 писал(а):

Найти кривую, зная, что площадь области, заключенной между осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней, равна кубу этой ординаты.

[Someone]

jdex в сообщении #1334066 писал(а):

Если я правильно понял условия задачи, то геометрически мы ищем следующую площадь:

Вообще-то, "стандартно" понимаемое условие предполагает поиск уравнения вида $y=f(x)$, где $x$ — абсцисса, $y$ — ордината. И рисунок, соответственно, другой.

[jdex]

Спасибо Вам.

Вчитываюсь в Ваши подсказки и все равно не могу понять, почему площадь (и соотв. рисунок) должны быть другими (хотя и осознаю, что где-то ошибаюсь, но не могу найти ошибки в рассуждениях) :( .

thething в сообщении #1334068 писал(а):

Ок, а какая буква на Вашем рисунке играет роль ординаты?

Буква $y$

EUgeneUS в сообщении #1334069 писал(а):

Нет, не эту. Вы не учитываете условие, выделенное ниже жирным.

В n-ый раз вчитываюсь в условия. Еще раз пройдемся по области ограничения: "заключенной между осями координат, " (оси Ох и Оу соответственно, так как на рисунке), "этой кривой" (кривая $x(y)$, все пока так как на рисунке), "и ординатой любой точки на ней," (берем любую точку $(x_0,y_0)$ на графике; ордината точки - $y=y_0$ соответствует прямой, параллельной оси Ох, так же, как и на рисунке).
Выходит, график должен быть таким?


Но тогда почему в условии не написано "заключенной между осями координат, этой кривой и абсциссой любой точки на ней"? Такое ощущение, что я ищу стоящую передо мной тарелку борща, в упор не видя ее, хотя на нее мне все тыкают.

Someone в сообщении #1334070 писал(а):

Вообще-то, "стандартно" понимаемое условие предполагает поиск уравнения вида $y=f(x)$, где $x$ — абсцисса, $y$ — ордината. И рисунок, соответственно, другой.

Такой, как я привел выше?

[EUgeneUS]

jdex в сообщении #1334083 писал(а):

ордината точки - $y=y_0$ соответствует прямой, параллельной оси Ох, так же, как и на рисунке).

на рисунке не так.

[Someone]

jdex в сообщении #1334083 писал(а):

ордината точки - $y=y_0$ соответствует прямой, параллельной оси Ох

И где на вашем последнем рисунке прямая $y=y_0$? И не забудьте, что $y_0=y(x_0)$ для некоторого $x_0$.

[thething]

jdex в сообщении #1334083 писал(а):

Буква $y$

Нет, у Вас в том случае -- это икс.

jdex в сообщении #1334083 писал(а):

и абсциссой любой точки на ней"?

Потому что значение ординаты -- это длина того вертикального отрезка, который с одной стороны и ограничивает фигуру. Это относится ко второму рисунку.

Короче, вот по второму рисунку напишите площадь криволинейной трапеции, как учили на матанализе и приравняйте к кубу ординаты.

[jdex]

Спасибо всем Вам за Ваше время!

Понял, что ошибка была в понимании "ординаты" в условиях задачи. У меня иногда бывают подобного рода "запоры" на ровном месте, особенно в местах, когда есть риск неоднозначной трактовки условий.
Уравнение в таком случае записывается: $\int\limits_{0}^{x}y(t)dt = y(x)^3$. Дифференцируя по $x$: $y(x)=3y(x)^2y'(x)$, или $3yy'=1$. Откуда $3ydy = dx$ и $3/2y^2=x+c$. Из начальных условий получаем $c=0$. Окончательно $3y^2-2x=0$.

[ex-math]

Я тоже не понимаю условия, оно кривое в том месте, где упоминается ордината.
Как можно понять "заключенной между ... ординатой" как "ограниченной вертикальным отрезком"?

[thething]

jdex в сообщении #1334091 писал(а):

Из начальных условий получаем $c=0$.

Что за начальные условия?

-- 23.08.2018, 15:53 --

ex-math в сообщении #1334093 писал(а):

Как можно понять "заключенной между ... ординатой" как "ограниченной вертикальным отрезком"?

Хм, а может, это я как-то криво трактовал это условие...
jdex
Какой там ответ должен был быть?

[jdex]

thething в сообщении #1334094 писал(а):

Что за начальные условия?

Имел в виду, что я искал значение $y(x_0)$ при $x_0=0$ из начального уравнения $\int\limits_{0}^{x}y(t)dt = y(x)^3$. Очевидно $y(0) = 0$. Я не знаю, но наверное будет не совсем правильно называть эти условия начальными (теорию интегральных уравнений я не читал).

thething в сообщении #1334094 писал(а):

jdex
Какой там ответ должен был быть?

Ответ такой же, как и у меня получился. Задачка из Демидовича кстати.