корректность слабого решения краевой задачи

[Andrey_Kireew]

Известно, что решение исходной краевой задачи всегда является решением задачи и в ослабленной формулировке. Обратное, в общем случае не верно. Какие существуют требования, чтобы слабое решение было корректным? Нашел информацию, где утверждается, что для этого достаточно, чтобы функционал ДУ был линейным, но ссылок никаких нет, и это утверждение вызывает сомнения. В литературе,к большому сожалению, ответа на свой вопрос никак не найду.
Может быть кто то предоставит информацию об этом, или где её можно посмотреть?

[novichok2018]

Корректности решения не бывает. Корректными бывают задачи. Корректность определённой задачи, или существование/несуществование, совпадение/несовпадение сильного и слабого решений-это всё разные вопросы.

[Andrey_Kireew]

В книге Johnson C. Numerical solution of partial differential equations by the finite element method (p.28)
утверждается, что если неизвестния функция $u$ достаточно регулярна, то решение краевой задачи в ослабленной формулировке является также решением и исходной задачи. Под регулярностью, как я понял, подразумевается непрерывность k-той производной.

Может быть это как то связано со сходимостью МКЭ?
Верно ли, что если МКЭ сходится, то решение в ослабленной формулировке совпадает с решением исходной задачи?

[Andrey_Kireew]

После долгих поисков обнаружил теорему:

Теорема. Пусть $A$ - положительный оператор в $D_A$ и пусть уравнение $Au=f$ имеет решение , тогда квадратичный функционал $F(u)=(Au \cdot u)-2(f\cdot u)$ принимает на $u_0$ минимальное в $D_A$ значение, то есть $F(u)\geqslant F(u_0), \forall u\in D_A$, причем $F(u)=F(u_0)$, только если $u=u_0$. Наоборот, пусть $F(u)$принимает свое минимальное значение в $D_A$ на некотором элементе $u\in D_A$, тогда $u_0$ - решение уравнения $Au=f$в $H$.

Если я правильно понимаю - это и есть ответ на мой вопрос.
Всего то на всего - дифференциальный оператор должен быть положительным, а ни каким не линейным.
И не о какой регулярности $u$ речи тоже нет.

В общем везде по разному пишут ...

[dsge]

Andrey_Kireew в сообщении #1333689 писал(а):

- дифференциальный оператор должен быть положительным, а ни каким не линейным.

Тогда упомянутый функционал не будет квадратичным.

-- 21.08.2018, 14:33 --

Andrey_Kireew в сообщении #1333689 писал(а):

не о какой регулярности $u$ речи тоже нет.

Простые аргументы приводят к тому, что регулярность $u$ выше, чем $f$.

[Andrey_Kireew]

dsge в сообщении #1333701 писал(а):

Тогда упомянутый функционал не будет квадратичным.

действительно, значит $A$ должен быть линейным положительным оператором.

dsge в сообщении #1333701 писал(а):

Простые аргументы приводят к тому, что регулярность $u$ выше, чем $f$.

У меня $f=0$ и уравнение с переменными коэффициентами.
$\nabla(k \cdot \nabla u)+c\cdot u=0$

Тут явно регулярность $f$ лучше чем регулярность $u$. Всё зависит от распределения параметров $k, c$. Но оператор $A(\cdot)$, насколько я понимаю, всё равно остаётся линейным. Получается, теорема остаётся справедливой. Или может я, что то упускаю?

[novichok2018]

Это называется энергетическое решение задачи. Пространство тоже энергетическим. Если такого решения хватает- то хорошо, всё. Если надо гладкое-то даже для эллиптических уравнений начинается целая эпопея: доказать что слабое есть сильное, потом сильное есть гладкое.

[dsge]

Andrey_Kireew в сообщении #1333703 писал(а):

У меня $f=0$ и уравнение с переменными коэффициентами.
$\nabla(k \cdot \nabla u)+c\cdot u=0$
Тут явно регулярность $f$ лучше чем регулярность $u$.

Если соответствующий оператор $A$ является (строго-)положительным и $f=0$, то только решение очевидно и его регулярность ничуть не хуже чем у 0.
Вообще-то, кроме дифференциального уравнения для корректности задачи должна быть задана область и граничные условия, например, Дирихле, Неймана, смешанные. Область определения дифференциального оператора, $D_A$, будет зависеть от всего этого.

[Andrey_Kireew]

Разбираясь в этом вопросе прихожу к выводу, что в help matlab написано неверно.
$\int\limits_{V}^{}(k \cdot \nabla u \nabla \psi+c\cdot u \psi) dv-\int\limits_{S}^{}(a \cdot u \cdot \psi) ds=0 $ \forall \psi$
это ни какая не вариационная постановка задачи, а проекционная постановка. Вариационная постановка должна быть такая:
$\int\limits_{V}^{}(k \cdot \nabla u \nabla u+c\cdot u \psi) dv-\int\limits_{S}^{}(a \cdot u \cdot u) ds \to min $

в конечном счёте получается одна и та же СЛАУ, но путаницы от этого возникает не мало.

[Andrey_Kireew]

dsge спасибо за подсказку, кажется я немного разобрался. Для удовлетворения слабого решения классическому нужно обеспечить положительную определённость диф. оператора.

Я сейчас начал с доказательства симметрии (как необходимого условия) и пришел к выражению
$\int\limits_{S}^{}(K\cdot\nabla u \cdot \psi_i)ds \leftrightarrow \int\limits_{S}^{}(K\cdot\nabla \psi_i \cdot u)ds $ (1) $

$ \psi_i$ - это пробные функции.

И опять вопрос: можно ли рассматривать $u$ состоящим из базиса $(\psi_1, \psi_1,... \psi_N)$?

тогда проверка на симметрию сведётся к виду
$\int\limits_{S}^{}(K\cdot\nabla (a_1 \psi_i+a_2 \psi_j+a_3 \psi_k) \cdot \psi_i)ds \leftrightarrow \int\limits_{S}^{}(K\cdot\nabla \psi_i \cdot (a_1 \psi_i+a_2 \psi_j+a_3 \psi_k))ds$

если брать линейные финитные функции, то эти условия можно попробовать удовлетворить за счёт ограничениях на граничные условия.

Или же так делать нельзя, и (1) должны быть эквивалентны для любой произвольной $u$?