2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упражнение из учебника Гельфанда по линейной алгебре
Сообщение18.08.2018, 02:27 


21/12/16
73
Доказать, что если $V_1$ и $V_2$ - подпространства пространства $V$ такие, что $V_1 \subset V_2$ и $\dim V_1 = \dim V_2=k$, то $V_1=V_2$. То есть нужно показать, что любой вектор из $V_2$ является линейной комбинацией базисных векторов $V_1$?
Тогда зафиксируем в $V_1$ базис $\vec{e_1},\ldots, \vec{e_k}$. Т.к. $V_1 \subset V_2$ и их размерности совпадают, то $\vec{e_1},\ldots, \vec{e_k}$ - базис в $V_2$. Таким образом $v = a_1\vec{e_1} + \ldots + a_k\vec{e_k}$ $,\forall v\in V_2$. Ч.т.д.
Это достаточно аккуратно? Как-то настолько просто, что вот даже сюда пишу. Я вот нигде (ведь так?) не использовал факт того, что $V_1, V_2$ - это подпространства пространства $V$, и это не дает мне покоя. Нет ли в доказательстве какого-то некорректного перехода?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение из учебника Гельфанда по линейной алгебре
Сообщение18.08.2018, 02:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8342
Цюрих
Необходимые свойства базисов к этому моменту уже известны? В частности, что любая линейно независимая комбинация нужного размера является базисом?
Если да - то всё честно.
ioleg19029700 в сообщении #1333218 писал(а):
Я вот нигде (ведь так?) не использовал факт того, что $V_1, V_2$ - это подпространства пространства $V$,
Это используется в формулировке - чтобы говорить про размерности, линейные комбинации и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение из учебника Гельфанда по линейной алгебре
Сообщение20.08.2018, 01:58 


21/12/16
73
mihaild
Да, данный факт про базис известен. Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group