Эпиморфизм свободных групп ранга 2 и 3

[ikozyrev]

Существует ли эпимофризм из свободной группы ранга 2 ($F_2$) в свободную группу ранга 3 ($F_3$)?
Рассуждаю так:
Если такой эпиморфизм есть, то тогда ядро этого эпиморфизма - свободная группа (как подгруппа в $F_2$).
С другой стороны, в $F_2$ вложена $F_3$ ...
Дальше рассуждение застопоривается. Может есть какая -то подсказка?

[vpb]

У каждой группы есть абелианизация, т.е. наибольшая абелева факторгруппа.

$$ G^{\rm ab} =G/[G,G] . $$

Докажите, что если $f: G\to H$ --- эпиморфизм, то $f$ индуцирует эпиморфизм $G^{\rm ab}$ на $H^{\rm ab}$. Найдите $F_n^{\rm ab}$.

[ikozyrev]

Спасибо!
Итак, пусть $\varphi$ - эпиморфизм из $G$ в $H$, тогда, образ любого коммутатора $(x,y)\in G$ будет равен $\varphi((x,y))=\varphi(xyx^{-1}y^{-1})=\varphi(x)\varphi(y)\varphi(x)^{-1}\varphi(y)^{-1}$ то есть коммутатору из $H$. Так как $\varphi$ - эпиморфизм, то получаем что $[H,H]=\varphi([G,G])$, а значит и классы эквивалентности в $H/[H,H]$ будут эпиморфным образом классов эквивалентности в $G/[G,G]$
Теперь найдем абелиниазацию $F_n$. Так как соответcтвующая группа $F_n/[F_n,F_n]$ - абелева свободная и образована теми же образующими что и $F_n$ то очевидно что это $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times...\times\mathbb{Z}$.
Таким образом, если бы искомый эпиморфизм существовал, то он бы индуцировал эпиморфизм $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, что противоречит.

[vpb]

ikozyrev
Да, верно.
Полезно знать еще такое более общее соображение. Пусть $\varphi:G\longrightarrow H$ --- произвольный гомоморфизм групп, $G_1\leq G$ и $H_1\leq H$ --- подгруппы, причем $\varphi(G_1)\subseteq H_1$. Тогда два элемента из одного левого смежного класса $aG_1$ всегда попадают в один смежный класс $\varphi(a)H_1$, т.е. $\varphi$ индуцирует отображение множеств левых смежных классов $\overline\varphi:G/G_1\longrightarrow H/H_1$.
При этом легко видать, что (а) если обе $G_1$ и $H_1$ нормальны, то $\overline\varphi$ --- гомоморфизм групп, и (б) если $\varphi$ --- эпиморфизм, то $\overline\varphi$ сюръективно. Значит, если обе подгруппы нормальны, а гомоморфизм --- эпиморфизм, то получается эпиморфизм $G/G_1$ на $H/H_1$. (Отметим, что не требуется, вообще говоря, чтобы $G_1$ отображалось на $H_1$ сюръективно).

[ikozyrev]

Спасибо!