Давление газа

[versham]

Задача из школьного (но сложного) задачника Савченко (номер 5.4.13).

Две одинаковые параллельные пластины площади $S$ каждая расположены в сосуде близко друг к другу; их температура $T_1$ и $T_2$, температура стенок сосуда $T_1$. Пластины отталкиваются друг от друга с силой $F$. Оцените давление газа в сосуде.
(Газ считается идеальным, скорость молекул уходящих с поверхности твердого тела, имеют среднеквадратическую скорость, соответствующую температуре твердого тела)

Авторский ответ:

\[P=\frac{F}{S}\frac{T_1}{T_2-T_1}\]

Мое решение:
Пластины взаимодействуют таким образом: молекулы газа отталкиваясь от первой пластины имеет скорость (я везде говорю о проекции скорости на нормаль к пластинам) $v_1$, отталкиваясь от второй - $v_2$, с этой же скоростью молекула возвращается обратно к первой пластине. Тогда одна молекула дарит пластине 1 (будем считать силу действующую на нее, на вторую действует такая же) импульс

\[p_0=m_0(v_1+v_2)\]

Всего со стороны второй пластины на первую действует сила

\[F_1=\frac{dp}{dt}=\frac{dN}{dt}p_0\]

$\frac{dN}{dt}$ - это производная количества столкновений с пластиной по времени. Ее можно найти из следующих соображений. Пусть между пластинами расстояние $l$. Тогда между ними находится $N_0=nSl$ молекул. В среднем между столкновениями одной и той же молекулы с пластиной 1 проходит время

\[t_0=\frac{l}{v_1}+\frac{l}{v_2}=l\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}\]

Процесс установился, то есть $\frac{dN}{dt}=\operatorname{const}$, что значит

\[\frac{dN}{dt}=\frac{N_0}{t_0}=\frac{nSl}{l\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}}=nS\frac{v_1v_2}{v_1+v_2}\]

Наконец получаем силу

\[F_1=nS\frac{v_1v_2}{v_1+v_2}m_0(v_1+v_2)=nm_0Sv_1v_2\]

Это сила которая действует со стороны второй пластины. Еще нужно учесть силу которая давит с другой стороны. Можно и в лоб считать как и для другой силы, но все равно получится основное уравнение МКТ:

\[F_2=nm_0Sv_1^2\]

Результирующая сила:

\[F=F_1-F_2=nm_0Sv_1(v_2-v_1)=nm_0S\sqrt{\frac{RT_1}{\mu}}(\sqrt{\frac{RT_2}{\mu}}-\sqrt{\frac{RT_1}{\mu}})=nkS\sqrt{T_1}(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})\]

Откуда

\[nk=\frac{F}{S}\frac{1}{\sqrt{T_1}(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}\]

Давление считается по формуле

\[P=nkT_1=\frac{F}{S}\frac{\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}}\]

Вопрос: ошибка в ответе (такое по слухам об этом задачнике тоже может быть) или у меня?

[DimaM]

versham в сообщении #1332718 писал(а):

Вопрос: ошибка в ответе (такое по слухам об этом задачнике тоже может быть) или у меня?

Я попробовал идти другим путем (нашел между пластинами концентрации молекул, летящих влево и вправо) и получил результат, как у вас.
Похоже, ошибка в ответе.

[rascas]

versham
Считаю, что в ответе у Савченко ошибки нет.
Рассмотрите достаточно малое расстояние $\Delta x$ от пластины, нагретой до температуры $T_2$, отложенное в обе стороны от этой пластины. И учитывайте, что движение газа, в промежутке между пластинами, затруднено (особенно в направлении перпендикулярном пластинам).

[DimaM]

rascas в сообщении #1333042 писал(а):

Рассмотрите достаточно малое расстояние $\Delta x$ от пластины, нагретой до температуры $T_2$, отложенное в обе стороны от этой пластины. И учитывайте, что движение газа, в промежутке между пластинами, затруднено (особенно в направлении перпендикулярном пластинам).

А формулами этот набор слов можете представить?

[rascas]

Это не просто набор слов, это подсказка как решать задачу.

Рассмотрим объём, прилегающий к пластине $T_2$ : $\Delta V=S \Delta x$ в направлении пластины $T_1$.
Учитывая затруднённое движение газа в этом объёме, давление в этом объёме равно: $p_2=\frac {\nu R T_2} {\Delta V}$

Давление на пластину $T_2$ с другой (свободной) стороны равно давлению в сосуде $p_1$ .
И для объёма $\Delta V$ возможно записать $p_1=\frac {\nu R T_1} {\Delta V}$

Разность давлений $\Delta p = p_2 - p _1 =\frac {\nu R ( T_2 - T_1)} {\Delta V}$

Отсюда: $p_1= \frac { T_1 } {T_2 - T_1} \Delta p = \frac {F} {S} \frac {T_1} {T_2 - T_1}$

[DimaM]

rascas в сообщении #1333063 писал(а):

Рассмотрим объём, прилегающий к пластине $T_2$ : $\Delta V=S \Delta x$ в направлении пластины $T_1$.
Учитывая затруднённое движение газа в этом объёме , давление в этом объёме равно: $p_2=\frac {\nu R T_2} {\Delta V}$

Это для случая плотного газа.
У разреженного (расстояние между пластинами меньше длины свободного пробега) давление в этом объеме не определено.

[rascas]

Да, я рассматриваю случай, когда длина свободного пробега молекул газа гораздо меньше расстояния между пластинами (плотный газ).

[amon]

DimaM в сообщении #1333064 писал(а):

У разреженного (расстояние между пластинами меньше длины свободного пробега) давление в этом объеме не определено.

Ну, тогда и температура газа тоже не определена (термолизация определяется столкновением молекул), и задача точно не школьная.

[DimaM]

amon в сообщении #1333078 писал(а):

Ну, тогда и температура газа тоже не определена

Про температуру в промежутке ничего и не говорится.

amon в сообщении #1333078 писал(а):

термолизация определяется столкновением молекул

От стенки молекулы отскакивают вполне себе термализованно.

[amon]

DimaM в сообщении #1333084 писал(а):

От стенки молекулы отскакивают вполне себе термализованно.

В этом случае, как я понимаю (может, неправильно), надо решать честное уравнение Больцмана. Столкновений нет, решение ищем стационарное, значит в промежутке между стенками будет что-то вроде

$$v_z\frac{\partial f}{\partial z}=0\Rightarrow f=C_1z+C_2$$

Из граничный условий (Максвелл на границах с разными температурами) получается

$$f=e^{-\frac{p^2}{2mT_0}} + \frac{e^{-\frac{p^2}{2mT_1}} - e^{-\frac{p^2}{2mT_0}} }{L}z$$

($p$ -- импульс, $L$ -- расстояние между пластинами, $T_i$ -- температуры на пластинах.) Ясно, что и давление, и температура плохо определены, надо считать плотность потока импульса, и через нее - силу (это просто, но лень). Что-то мне подсказывает, что какого-то простого ответа не получится.

Добавлено по размышлении. Это я какую-то чушь написал. В такой постановке получается, что $f$ не зависит от $z$ ( $C_1=0$).

[realeugene]

rascas в сообщении #1333063 писал(а):

$p_2=\frac {\nu R T_2} {\Delta V}$

А что такое $\nu$, и как связано оно с $\Delta V$?

-- 17.08.2018, 15:27 --

versham в сообщении #1332718 писал(а):

$$\[\frac{dN}{dt}=\frac{N_0}{t_0}=\frac{nSl}{l\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}}=nS\frac{v_1v_2}{v_1+v_2}\]$$

У вас концентрация не зависит от скоростей частиц? Но это не так: потоки частиц в обе стороны равны, но более медленные частицы должны лететь более плотно.

-- 17.08.2018, 15:52 --

versham в сообщении #1332718 писал(а):

Две одинаковые параллельные пластины площади $S$ каждая расположены в сосуде близко друг к другу; их температура $T_1$ и $T_2$, температура стенок сосуда $T_1$. Пластины отталкиваются друг от друга с силой $F$. Оцените давление газа в сосуде.
(Газ считается идеальным, скорость молекул уходящих с поверхности твердого тела, имеют среднеквадратическую скорость, соответствующую температуре твердого тела)

1. Интересно, почему вообще возникает сила между пластинами в этой задаче? В идеальном газе нет взаимодействия между молекулами и, соответственно, нет длины свободного пробега. Следовательно, нет никакой разницы, какое расстояние между пластинами. Молекулы газа, ударяясь о любую стенку, мгновенно рассеиваются в случайном направлении, принимая случайную скорость, соответствующую температуре стенки. Таким образом, пластина с температурой $T_2$ окружена со всех сторон стенками с температурой $T_1$, молекулы от этих стенок бомбардируют эту пластину со всех сторон равномерно со случайными скоростями, соответствующими температуре $T_1$, и улетают от пластины, также, со случайными скоростями и равномерным распределением по телесным углам, но уже со случайными скоростями, соответствующими температуре $T_2$. Следовательно, равнодействующая сила, действующая на эту пластину, равна нулю. На пластину $T_1$ сила при этом действует, но равная ей по величине и противоположная по знаку сила действует не на пластину $T_2$, а на стенку сосуда. Условие задачи некорректно.

2. $p \propto n T \propto n v^2,\quad n \propto 1/v\quad \Longrightarrow\quad p \propto v \propto \sqrt{T},\quad \Delta p \propto \sqrt{T_1} - \sqrt{T_2}$

[realeugene]

amon в сообщении #1333102 писал(а):

Ясно, что и давление, и температура плохо определены

Можно считать как смесь двух идеальных "полугазов", молекулы которых летят в противоположные стороны, превращаясь в другой газ при отражении от стенки, и трехмерное распределение которых по скоростям равно соответствующей половине равновесного распределения для температуры стенки, из которой эти молекулы вылетели.

[mihiv]

realeugene в сообщении #1333105 писал(а):

Интересно, почему вообще возникает сила между пластинами в этой задаче?

В промежутке между пластинами в стационарном режиме должно выполняться условие: $n_1v_1=n_2v_2$, где $n_i$ концентрация молекул со скоростью $v_i$. Поэтому потоки молекул (с одинаковой среднеквадратичной скоростью $v_1$), приходящие на пластину 2 слева и справа, различны.

[rascas]

realeugene в сообщении #1333105 писал(а):

rascas в сообщении #1333063 писал(а):

$p_2=\frac {\nu R T_2} {\Delta V}$

А что такое $\nu$, и как связано оно с $\Delta V$?

$\nu$ это количество вешества (газа в молях), которое находится в оъёме $\Delta V$ при температуре $T_1$ и давлении $p_1$.
Так как допускаем, что движение газа между пластинами затруднено, то такое-же количество вещества находится в таком-же объёме и при температуре $T_2$, а давление $p_2$ получается в соответствии с уравнением состояния.

[realeugene]

mihiv в сообщении #1333131 писал(а):

Поэтому потоки молекул (с одинаковой среднеквадратичной скоростью $v_1$), приходящие на пластину 2 слева и справа, различны.

А можно подробнее? Не вижу, как из первого правильного утверждения следует второе неправильное.

-- 17.08.2018, 17:04 --

rascas в сообщении #1333132 писал(а):

Так как допускаем, что движение газа между пластинами затруднено

Газа? Затруднено? Странное допущение. Оно не только никем там не затруднено: молекулы идеального газа летают совершенно свободно в этой полости. Но эта полость ещё и совершенно свободно сообщается с окружением вдоль краёв.