Видимо, придётся начать сначала. Я сейчас разбираю записки лекции, на которой меня не было (лекция была посвящена алгебраическим многообразиям и регулярным отображениям).
Там есть сначала определение: конечно-порождённое кольцо над

есть фактор
![$\mathbb C[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ $\mathbb C[x_1, x_2, \ldots, x_n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5eb1606b9a6d2e38a132415b83a1c3a382.png)
по идеалу. А дальше сразу идёт лемма: кольцо

над полем

является кольцом регулярных функций на алгебраическом многообразии

-- конечно-порождённое над

кольцо без нильпотентов.
Смысл моего вопроса заключался в том, почему автор может давать определение через фактор? Оно равносильно тому, про которое сказали Вы (про конечно-порождённую алгебру)? И работает ли оно не для комплексных?