2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 19:47 


27/12/16
9
Встретил у преподавателя в лекциях такой фрагмент - "Нетрудно понять, что вопрос о равномощности произвольного множества некоторому кардиналу равносилен вопросу о возможности вполне упорядочить это множество." И как же это легко понять?

Кардинал в лекциях определяется так - "Назовем ординал α кардиналом, если он не равномощен никакому своему элементу, т. е. это наименьший ординал данной мощности.".

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
А что именно у Вас вызывает проблему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 21:18 


27/12/16
9
Someone в сообщении #1332725 писал(а):
А что именно у Вас вызывает проблему?

Слово "равносилен" в фрагменте. Я не могу понять, почему если мы ответим на вопрос о равномощности множества некоторому кардиналу, то мы тем самым ответим на вопрос о возможности вполне упорядочить это множество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Потому что множество равномощно некоторому кардиналу тогда и только тогда, когда его можно вполне упорядочить.
У вас проблема с формулировкой "ответить на вопрос" (тогда см. строчкой выше формальное утверждение) или с доказательством формального утверждения? Если второе - напишите, какие у вас есть идеи, как его доказать, и где затык. Подсказка: чтобы доказать эквивалентность, в данном случае нужно доказать два следствия (слева направо и справа налево).

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Может быть, я отстал, но у меня некоторое недоумение по поводу терминологии.
Собственно говоря, я привык, что кардинал — это мощность множества (любого), а мощность вполне упорядоченного множества называется алефом и определяется как начальный ординал, то есть, такой ординал, что любой меньший ординал имеет меньшую мощность.

verharber1, вспомните определение равномощности и подумайте, почему множество, равномощное вполне упорядоченному множеству, само может быть вполне упорядочено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 22:02 


27/12/16
9
mihaild в сообщении #1332739 писал(а):
Потому что множество равномощно некоторому кардиналу тогда и только тогда, когда его можно вполне упорядочить.
У вас проблема с формулировкой "ответить на вопрос" (тогда см. строчкой выше формальное утверждение) или с доказательством формального утверждения? Если второе - напишите, какие у вас есть идеи, как его доказать, и где затык. Подсказка: чтобы доказать эквивалентность, в данном случае нужно доказать два следствия (слева направо и справа налево).


Второе, в одну сторону: если множество вполне упорядочено, то оно изоморфно, а значит и равномощно, некоторому ординалу, но нужна равномощность не просто ординалу, а кардиналу, как показать, что и такой будет?

В другую: если множества $A, B$ равномощны, то существует биекция $f: A \rightarrow B$, тогда если на множестве $A$ есть порядок, то определим порядок на $B$ таким образом: $\forall y, x \in B (y\geqslant x \Leftrightarrow f^{-1}(y) \geqslant f^{-1}(x) ) $. Тогда и вполне упорядоченность сохранится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
verharber1 в сообщении #1332748 писал(а):
если множество вполне упорядочено, то оно изоморфно, а значит и равномощно, некоторому ординалу, но нужна равномощность не просто ординалу, а кардиналу, как показать, что и такой будет?
Докажите, что для каждого ординала существует равномощный ему кардинал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 23:01 


27/12/16
9
mihaild в сообщении #1332750 писал(а):
verharber1 в сообщении #1332748 писал(а):
если множество вполне упорядочено, то оно изоморфно, а значит и равномощно, некоторому ординалу, но нужна равномощность не просто ординалу, а кардиналу, как показать, что и такой будет?
Докажите, что для каждого ординала существует равномощный ему кардинал.


Если ординал $\alpha$ не является кардиналом, то пусть $B = \left\lbrace \beta \in \alpha : \left\lvert \beta \right\rvert = \left\lvert \alpha\right\rvert \right\rbrace$, но ординал это вполне упорядоченное множество, значит в $B$ есть минимальный элемент, он и будет искомым кардиналом.

Только я не смог доказать, что этот кардинал тоже будет изоморфен множеству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
verharber1 в сообщении #1332774 писал(а):
Только я не смог доказать, что этот кардинал тоже будет изоморфен множеству.
Вместо "изоморфен" тут лучше говорить "равномощен" ("изоморфность" подразумевает сохранение какой-то структуры).
Наше множество $X$ равномощно $\alpha$. $\alpha$ равномощен кардиналу $\mathcal{B}$. Как найти кардинал, равномощный $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность кардиналу.
Сообщение15.08.2018, 23:10 


27/12/16
9
mihaild в сообщении #1332778 писал(а):
verharber1 в сообщении #1332774 писал(а):
Только я не смог доказать, что этот кардинал тоже будет изоморфен множеству.
Вместо "изоморфен" тут лучше говорить "равномощен" ("изоморфность" подразумевает сохранение какой-то структуры).
Наше множество $X$ равномощно $\alpha$. $\alpha$ равномощен кардиналу $\mathcal{B}$. Как найти кардинал, равномощный $X$?


А ну да, конечно не нужно изоморфность доказывать. Тогда все, разобрался, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group