Равномощность кардиналу.

[verharber1]

Встретил у преподавателя в лекциях такой фрагмент - "Нетрудно понять, что вопрос о равномощности произвольного множества некоторому кардиналу равносилен вопросу о возможности вполне упорядочить это множество." И как же это легко понять?

Кардинал в лекциях определяется так - "Назовем ординал α кардиналом, если он не равномощен никакому своему элементу, т. е. это наименьший ординал данной мощности.".

[Someone]

А что именно у Вас вызывает проблему?

[verharber1]

Someone в сообщении #1332725 писал(а):

А что именно у Вас вызывает проблему?

Слово "равносилен" в фрагменте. Я не могу понять, почему если мы ответим на вопрос о равномощности множества некоторому кардиналу, то мы тем самым ответим на вопрос о возможности вполне упорядочить это множество?

[mihaild]

Потому что множество равномощно некоторому кардиналу тогда и только тогда, когда его можно вполне упорядочить.
У вас проблема с формулировкой "ответить на вопрос" (тогда см. строчкой выше формальное утверждение) или с доказательством формального утверждения? Если второе - напишите, какие у вас есть идеи, как его доказать, и где затык. Подсказка: чтобы доказать эквивалентность, в данном случае нужно доказать два следствия (слева направо и справа налево).

[Someone]

Может быть, я отстал, но у меня некоторое недоумение по поводу терминологии.
Собственно говоря, я привык, что кардинал — это мощность множества (любого), а мощность вполне упорядоченного множества называется алефом и определяется как начальный ординал, то есть, такой ординал, что любой меньший ординал имеет меньшую мощность.

verharber1, вспомните определение равномощности и подумайте, почему множество, равномощное вполне упорядоченному множеству, само может быть вполне упорядочено.

[verharber1]

mihaild в сообщении #1332739 писал(а):

Потому что множество равномощно некоторому кардиналу тогда и только тогда, когда его можно вполне упорядочить.
У вас проблема с формулировкой "ответить на вопрос" (тогда см. строчкой выше формальное утверждение) или с доказательством формального утверждения? Если второе - напишите, какие у вас есть идеи, как его доказать, и где затык. Подсказка: чтобы доказать эквивалентность, в данном случае нужно доказать два следствия (слева направо и справа налево).

Второе, в одну сторону: если множество вполне упорядочено, то оно изоморфно, а значит и равномощно, некоторому ординалу, но нужна равномощность не просто ординалу, а кардиналу, как показать, что и такой будет?

В другую: если множества $A, B$ равномощны, то существует биекция $f: A \rightarrow B$, тогда если на множестве $A$ есть порядок, то определим порядок на $B$ таким образом: $\forall y, x \in B (y\geqslant x \Leftrightarrow f^{-1}(y) \geqslant f^{-1}(x) ) $. Тогда и вполне упорядоченность сохранится.

[mihaild]

verharber1 в сообщении #1332748 писал(а):

если множество вполне упорядочено, то оно изоморфно, а значит и равномощно, некоторому ординалу, но нужна равномощность не просто ординалу, а кардиналу, как показать, что и такой будет?

Докажите, что для каждого ординала существует равномощный ему кардинал.

[verharber1]

mihaild в сообщении #1332750 писал(а):

verharber1 в сообщении #1332748 писал(а):

если множество вполне упорядочено, то оно изоморфно, а значит и равномощно, некоторому ординалу, но нужна равномощность не просто ординалу, а кардиналу, как показать, что и такой будет?

Докажите, что для каждого ординала существует равномощный ему кардинал.

Если ординал $\alpha$ не является кардиналом, то пусть $B = \left\lbrace \beta \in \alpha : \left\lvert \beta \right\rvert = \left\lvert \alpha\right\rvert \right\rbrace$, но ординал это вполне упорядоченное множество, значит в $B$ есть минимальный элемент, он и будет искомым кардиналом.

Только я не смог доказать, что этот кардинал тоже будет изоморфен множеству.

[mihaild]

verharber1 в сообщении #1332774 писал(а):

Только я не смог доказать, что этот кардинал тоже будет изоморфен множеству.

Вместо "изоморфен" тут лучше говорить "равномощен" ("изоморфность" подразумевает сохранение какой-то структуры).
Наше множество $X$ равномощно $\alpha$. $\alpha$ равномощен кардиналу $\mathcal{B}$. Как найти кардинал, равномощный $X$?

[verharber1]

mihaild в сообщении #1332778 писал(а):

verharber1 в сообщении #1332774 писал(а):

Только я не смог доказать, что этот кардинал тоже будет изоморфен множеству.

Вместо "изоморфен" тут лучше говорить "равномощен" ("изоморфность" подразумевает сохранение какой-то структуры).
Наше множество $X$ равномощно $\alpha$. $\alpha$ равномощен кардиналу $\mathcal{B}$. Как найти кардинал, равномощный $X$?

А ну да, конечно не нужно изоморфность доказывать. Тогда все, разобрался, спасибо.