Система ЛДУ с переменными коэффициентами

[tpm01]

Прошу помощи в решении такой задачи:
Два решения $\varphi$ и $\psi$ системы
$\left\{ \begin{array}{rcl} dx/dt &=& x\cdot \ln(t)-y\cdot e^t \\ dy/dt &=& x\cdot \arctg(t)+y\\ \end{array} \right.$
удовлетворяют начальным условиям:
$\varphi (1)=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$,

$\psi (1)=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$
найти значение их определителя Вронского при $t=3$

Проверила коммутативность матрицы $A(t)$ и ее интеграла - произведение не коммутативно. Вронскиан получается равным $W(t)=t^t$. Если я правильно понимаю, чтобы ответить на вопрос необходимо решить систему, затем задачу Коши, найти Вронскиан решений и подставить $t=3$. Но т.к. произведение матрицы $A(t)$ и ее интеграла некоммутативно, не знаю с какой стороны подойти. Прошу не подсказывать решение, а подсказать где можно посмотреть аналогичные примеры. Трудность состоит в том, что у меня нет материалов практических занятий, есть одни лекции и с материалом я пытаюсь разобраться самостоятельно по электронным учебникам. Примеры смотрю здесь http://www.math24.ru, но ничего похожего не нашла.

[svv]

Проясните, пожалуйста, несколько моментов.
1) Известна ли Вам формула Лиувилля?
2) $W(t)=t^t$ — это Ваше выражение для какого вронскиана? системы векторных функций $\varphi(t), \psi(t)$ ? Довольно близко к истине, хоть всё же неверно: должно выполняться (но не выполняется)
$W(1)=1^1=\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}$
3) Но, допустим, $W(t)=t^t$ — это вполне правильное выражение. Почему Вы просто не подставите $t=3$ ?
4) Как Вы нашли вронскиан? Я теряюсь в догадках. Вы точно не подсмотрели его в ответах, потому что он не совсем правильный. Вы точно не пользовались формулой Лиувилля, потому что с ней не остаётся никаких вопросов. И Вы точно не решали систему, потому что это нереально.

[tpm01]

1) Формула Лиувилля известна
2) Вронскиан $W(t)=t^t$ получен как раз с помощью формулы Лиувилля-Остроградского из матрицы $A(t)$ системы уравнений, единственное, не стала выкладки приводить. Вот как нашла Вронскиан:
$W(t)=e^{\int\limits_{0}^{t}\operatorname{tr}(A(\tau))d\tau}=e^{t\cdot \ln(t)}=t^t$
где
$A(t)=\begin{pmatrix} \ln(t) & -e^t\\ \arctg(t) & 1 \end{pmatrix}$
3) Подставляла, получила $27$, но тогда какая связь этого с начальными условиями для решений? К тому же ни с одним из предлагаемых вариантов не сходится. У меня цель не угадать, а понять. Поэтому я спрашиваю аналогичные примеры, а не решение этого.
4) В ответах мне негде подсматривать формулы, там числа. Систему пыталась решить - в первом посте писала, что произведение матрицы системы и ее интеграла оказалось некоммутативно. Было бы коммутативно, я бы тут ничего не спрашивала.

[Someone]

tpm01 в сообщении #1332375 писал(а):

$W(t)=e^{\int\limits_{0}^{t}\operatorname{tr}(A(\tau))d\tau}=e^{t\cdot \ln(t)}=t^t$

Насколько мне помнится, в формуле Лиувилля ещё что-то есть. Вы не могли бы посмотреть у себя точный вид этой формулы?

[tpm01]

О, спасибо, Someone, надо было мне внимательнее смотреть конспект, а не сайт http://www.math24.ru/линейные-системы-дифференциальных-уравнений-с-переменными-коэффициентами.html
Тогда, если не ошибаюсь, это будет:
$W(t)=W(t_0)\cdot e^{\int\limits_{0}^{t}\operatorname{tr}(A(\tau))d\tau}=W(t_0)\cdot e^{t\cdot \ln(t)}=W(t_0)\cdot t^t=\det \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot t^t$
и т.д.
верно?

[svv]

Уточните ещё нижний предел интегрирования.

[tpm01]

а, спасибо от $t_0$