Теплопроводность смеси газов

[versham]

Теплопроводность газов $A_1$ и $A_2$ равна соответственно $\varkappa_1$ и $\varkappa_2$. Определите теплопроводность смеси, в которой молекул $A_1$ в $\alpha$ раз больше, чем молекул $A_2$. Температура газов одинакова, газы одноатомные. Молярная масса газов соответственно $\mu_1$ и $\mu_2$.

Ответ к этой задаче:
$\varkappa=\frac{\varkappa_1}{1+\frac{1}{4\alpha}[1+(\frac{\varkappa_1}{\varkappa_2}\sqrt{\mu_1/\mu_2})^{1/2}]^2}+\frac{\varkappa_2}{1+\frac{\alpha}{4}[1+(\frac{\varkappa_2}{\varkappa_1}\sqrt{\mu_2/\mu_1})^{1/2}]^2}$
Я не понимаю, как его получить.

Мое решение:
Коэффициент теплопроводности газа равен
$\varkappa=\frac{1}{3}\frac{C_{\nu}n}{N_A}\lambda v$
Молярная теплоемкость одноатомного газа равна
$C_{\nu}=\frac{3}{2}R$
Если подставить, получим
$\varkappa=\frac{1}{2}kn\lambda v$
($k$ - постоянная Больцмана)

Концентрация молекул в смеси, очевидно, равна сумме концентраций составляющих:
$n=n_1+n_2=n_2(\alpha+1)$

Средняя скорость движения молекул в газе
$v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}$
Тогда в смеси газов средняя скорость будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей в чистых газах, т. е.
$v=\frac{\alpha v_1 + v_2}{\alpha + 1}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi}}\frac{\sqrt{\mu_1} + \alpha\sqrt{\mu_2}}{(\alpha + 1)\sqrt{\mu_1 \mu_2}}$

Если средний пробег молекул в газах $A_1$ и $A_2$ равен $\lambda_1$ и $\lambda_2$, соответственно, то средний пробег в их смеси будет:
$\lambda=(\lambda_1^{-1}+\lambda_2^{-1})^{-1}=(\frac{kn_1v_1}{2\varkappa_1}+\frac{kn_2v_2}{2\varkappa_2})^{-1}=\frac{2}{kn_2}(\frac{\alpha v_1}{\varkappa_1}+\frac{v_2}{\varkappa_2})^{-1}=\\ \sqrt{\frac{\pi}{2RT}}\frac{1}{kn_2}(\frac{\alpha}{\varkappa_1\sqrt{\mu_1}} +\frac{1}{\varkappa_2\sqrt{\mu_2}})^{-1}= \sqrt{\frac{\pi}{2RT}}\frac{1}{kn_2}\frac{\varkappa_1 \varkappa_2 \sqrt{\mu_1 \mu_2}}{\varkappa_1 \sqrt{\mu_1} + \alpha \varkappa_2 \sqrt{\mu_2}}$

Если теперь все это подставить получится
$\varkappa = \frac{1}{2}k \cdot n_2(\alpha+1) \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2RT}}\frac{1}{kn_2}\frac{\varkappa_1 \varkappa_2 \sqrt{\mu_1 \mu_2}}{\varkappa_1 \sqrt{\mu_1} + \alpha \varkappa_2 \sqrt{\mu_2}} \cdot \sqrt{\frac{8RT}{\pi}}\frac{\sqrt{\mu_1} + \alpha\sqrt{\mu_2}}{(\alpha + 1)\sqrt{\mu_1 \mu_2}}=\frac{\varkappa_1 \varkappa_2 (\sqrt{\mu_1} + \alpha \sqrt{\mu_2})}{\varkappa_1 \sqrt{\mu_1} + \alpha \varkappa_2 \sqrt{\mu_2}}$
что очень далеко от ответа.

Буду рад любой помощи!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Вы зачем-то ищете общую среднюю скорость, хотя молекулы разных газов будут иметь в смеси разные распределения скоростей.

То же относится и к среднему пробегу. (Я вообще не знаю, как его можно найти из имеющихся данных: соотношение размеров молекул не дано. Но вы всё-таки постарайтесь.)

[versham]

Munin в сообщении #1332277 писал(а):

Вы зачем-то ищете общую среднюю скорость, хотя молекулы разных газов будут иметь в смеси разные распределения скоростей.

То же относится и к среднему пробегу. (Я вообще не знаю, как его можно найти из имеющихся данных: соотношение размеров молекул не дано. Но вы всё-таки постарайтесь.)

Насколько я понимаю, если убрать из смеси (например) газ $A_1$, то распределение молекул $A_2$ по скоростям не изменится. Тогда можно вполне говорить о средней скорости молекул смеси (или нет?).

Насчет линейных размеров:
Их можно вытащить так:
$\varkappa_1=\frac{1}{2}kn_1\lambda_1 v_1=\frac{1}{2}kn_1\frac{1}{\sqrt{2}\sigma_1 n_1}\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu_1}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}k\frac{1}{\pi d_1^2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu_1}}=k\frac{1}{\pi d_1^2}\sqrt{\frac{RT}{\pi \mu_1}}\\ d_1=\sqrt{\frac{k}{\pi\varkappa_1}\sqrt{\frac{RT}{\pi \mu_1}}}$
(для второго газа аналогично)

Таким образом, линейные размеры нам заданы.

[Pphantom]

А это учебная задача или нет? Если да - откуда она появилась? Если нет - теплопроводность смеси газов, вообще говоря, обычно считается полуэмпирическими методами, разными в разных частных случаях.

[versham]

Pphantom в сообщении #1332396 писал(а):

А это учебная задача или нет? Если да - откуда она появилась? Если нет - теплопроводность смеси газов, вообще говоря, обычно считается полуэмпирическими методами, разными в разных частных случаях.

Это учебная задача. Она взята из известного (как бы школьного) задачника Савченко (номер 5.3.13).

[DimaM]

Путь, по-видимому, приводящий к авторскому ответу.
Пусть концентрация первого газа $n$, второго $\alpha n$. Рассмотрим перенос тепла каждым газом по отдельности

$$\kappa = \dfrac{k}{2}(n\lambda_1v_1+\alpha n\lambda_1v_1).\qquad(1)$$

Теперь длины свободного пробега. Рассмотрим молекулу первого газа, проходящую расстояние $\lambda_1$. На этом пути она "зацепит" $4\pi R_1^2n\lambda_1$ молекул первого газа и $\pi (R_1+R_2)^2\alpha n\lambda_1$ молекул второго, сумма этих чисел равна единицы по определению длины свободного пробега. Получаем

$$\lambda_1=\dfrac{1}{\pi n(4R_1^2+\alpha(R_1+R_2)^2)}.\qquad(2)$$

Аналогично

$$\lambda_1=\dfrac{1}{\pi n(4\alpha R_2^2+(R_1+R_2)^2)}.\qquad(3)$$

Подставляем (2) и (3) в (1), замечая, что $\kappa_1=\dfrac{k}{2}\dfrac{v_1}{4\pi R_1^2}$
и аналогично для $\kappa_2$.

Правда, до конца я не довел.