Демидович. Предел функции. 506

[Ivan_B]

506. $\lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}$
Для решения хочу доказать, что если $\lim\limits_{x\to a}u(x)=u_0$ и $\lim\limits_{x\to a}v(x)=v_0$, то $\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}=u_0^{v_0}$
Если это утверждение верно и должно быть доказано в Зориче, пожалуйста, укажите на это, дальше буду сам разбираться.
Если утверждение верно, но доказать нужно самостоятельно, вот моя попытка это сделать:
Пусть $x=\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}>0$, тогда $\ln x = \ln \lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}$ $ = \lim\limits_{x\to a}\ln u(x)^{v(x)} = \lim\limits_{x\to a} v(x) \lim\limits_{x\to a}\ln u(x) = $ $\lim\limits_{x\to a} v(x) \ln\lim\limits_{x\to a} u(x) = v_0\ln u_0 = \ln u_0^{v_0}$, тогда $x=u_0^{v_0}$
Остается доказать, что $\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}$ существует. Нужна подсказка.

[Otta]

Не, ну зачем так сурово. Запишите выражение в экспоненциальном виде.

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1331360 писал(а):

Если это утверждение верно и должно быть доказано в Зориче

Насчёт Зорича. Посмотрите пункт "b. Предел композиции функций" в параграфе "Вопросы существования предела функции" (в моём издании это в районе 130 страницы). И там ещё в примере после этого параграфа как раз что-то похожее.

[Ivan_B]

Otta в сообщении #1331365 писал(а):

Запишите выражение в экспоненциальном виде.

$\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}=\lim\limits_{x\to a}e^{\ln u(x)^{v(x)}}=\dots$ Дальше понятно.
Спасибо!

grizzly в сообщении #1331366 писал(а):

Посмотрите пункт "b. Предел композиции функций"

Я уже собирался все перечитывать, но теперь нет необходимости. Спасибо большое!