Уравнение эллипса в полярных координатах

[Tiberium]

Добрый день! Подозреваю, что мой вопрос тупой, но не могу не спросить. Никогда не был хорош в аналитической геометрии, но, насколько я помню, формула для эллипса в полярных координатах имеет следующий вид:

$ r = \frac{p}{1-\cos\varphi}$

Сейчас в одном справочнике увидел запись:

$ r = \frac{p\varepsilon}{1-\cos\varphi}$

Не могу никак понять, зачем там эпсилон в числителе.

[Someone]

Tiberium в сообщении #1323135 писал(а):

формула для эллипса в полярных координатах имеет следующий вид:

$ r = \frac{p}{1-\cos\varphi}$

Сейчас в одном справочнике увидел запись:

$ r = \frac{p\varepsilon}{1-\cos\varphi}$

Не могу никак понять, зачем там эпсилон в числителе.

Оба — уравнения параболы. Только первое — с фокальным параметром $p$, а второе — с фокальным параметром $p\varepsilon$. Скорее всего, в справочнике опечатка.
Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах можно записать в виде $r=\frac p{1-\varepsilon\cos\varphi}$. Вместо "$-$" в знаменателе можно написать "$+$", просто кривая будет иначе расположена.

[Tiberium]

Someone в сообщении #1323139 писал(а):

Tiberium в сообщении #1323135 писал(а):

формула для эллипса в полярных координатах имеет следующий вид:

$ r = \frac{p}{1-\cos\varphi}$

Сейчас в одном справочнике увидел запись:

$ r = \frac{p\varepsilon}{1-\cos\varphi}$

Не могу никак понять, зачем там эпсилон в числителе.

Оба — уравнения параболы. Только первое — с фокальным параметром $p$, а второе — с фокальным параметром $p\varepsilon$. Скорее всего, в справочнике опечатка.
Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах можно записать в виде $r=\frac p{1-\varepsilon\cos\varphi}$. Вместо "$-$" в знаменателе можно написать "$+$", просто кривая будет иначе расположена.

Пардон, опечатка на моей стороне:

$r=\frac p{1-\varepsilon\cos\varphi}$

Вот так должно быть. Вот это я и не понял как раз — почему у них фокальный параметр $p\varepsilon$

[Someone]

Tiberium в сообщении #1323141 писал(а):

Пардон, опечатка на моей стороне: …
Вот это я и не понял как раз — почему у них фокальный параметр $p\varepsilon$

Это с вашей опечаткой парабола и такой фокальный параметр. А без опечатки фокальный параметр равен $p$.

[Tiberium]

Someone в сообщении #1323146 писал(а):

Это с вашей опечаткой парабола и такой фокальный параметр. А без опечатки фокальный параметр равен $p$.

Извините, кажется, я Вас запутал. Вот такой должна быть формула на мой взгляд:

$ r = \frac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}$

Вот так она записана в справочнике:

$ r = \frac{p\varepsilon}{1-\varepsilon\cos\varphi}$

[Someone]

Tiberium в сообщении #1323149 писал(а):

Вот так она записана в справочнике:

$ r = \frac{p\varepsilon}{1-\varepsilon\cos\varphi}$

Тогда у них действительно фокальный параметр равен $p\varepsilon$. Хотя кривая может быть и эллипсом, и параболой, и гиперболой. Но это опечатка. Не должно быть там $\varepsilon$ в числителе.

[Tiberium]

Someone в сообщении #1323150 писал(а):

Тогда у них действительно фокальный параметр равен $p\varepsilon$. Хотя кривая может быть и эллипсом, и параболой, и гиперболой. Но это опечатка. Не должно быть там $\varepsilon$ в числителе.

Поднимаю старую тему, но теперь увидел формулу в таком виде ещё и в учебнике Ильина и Позняка. Собственно, вопрос: в числителе $e$ из-за того, что мы сразу предположили, что расстояние от директрисы до фокуса равно $p$?

Если так, то не очень понятно, зачем выводить полярное уравнение в таком виде? Почти во всех остальных источниках, расстояние от $F$ до $d$ берется за $\frac{p}{e}$.

А вот поясняющий (запутывающий) рисунок:



Такое ощущение, что в выводе формулы есть ошибка.

[Someone]

Если через $p$ обозначено расстояние между фокусом и ближайшей к нему директрисой, то так и будет. Но фокальным параметром кривой второго порядка называют не это расстояние, а длину перпендикуляра к оси кривой, проходящей через фокусы, восстановленного из фокуса до пересечения с кривой.

[ewert]

Tiberium в сообщении #1329954 писал(а):

Поднимаю старую тему, но теперь увидел формулу в таком виде ещё и в учебнике Ильина и Позняка. Собственно, вопрос: в числителе $e$ из-за того, что мы сразу предположили, что расстояние от директрисы до фокуса равно $p$?

Да, именно из-за этого. И это по-своему логично. Определение, основанное на двух геометрических параметрах -- расстоянии от фокуса до директрисы и некоем загадочном "эксцентриситете" -- наиболее лаконично и универсально (годится сразу для всех кривых), и из него действительно мгновенно получается уравнение в полярных координатах.

Никаких ошибок в выводе нет, есть дефект во втором рисунке: луч из фокуса следовало направить в противоположную сторону, а его продолжение до левой ветви гиперболы наметить пунктиром. Ну и оговорить, что соответствующие расстояния на этом рисунке считаются отрицательными (возможно, в сноске, которую Вы отрезали, что-то подобное и оговаривалось). Плохо, конечно, и то, что на рисунке изображены откровенные гиперболы, над ним же говорится об эллипсах и параболах.

В классическом же определении никаких директрис изначально нет (не считая параболы, конечно, для которой это святое). Есть лишь расстояния до фокусов. Это плохо, т.к. вместо одного определения приходится вводить три разных. Но и замечательно тем, что сами определения выглядят гораздо естественнее с геометрической точки зрения. И термин "эксцентриситет" приобретает вместо абстрактного вполне прозрачный геометрический смысл, во всяком случае для эллипса. Ну а парабола -- что парабола, граничный случай.

Что же называть фокальным параметром -- дело вкуса. Вариант с эксцентриситетом в числителе плох, т.к. исключает из рассмотрения окружность, да и вообще масштаб рисунка меняется необоснованно сильно. Стандартное понимание этого параметра как расстояния поперёк оси симметрии гораздо удобнее.

[Tiberium]

Someone,
ewert,

Спасибо за разъяснения! Интересно только, зачем было оригинальничать в этом вопросе. Фокальный параметр — ведь все-таки достаточно общепринятый объект, который во всех остальных учебниках трактуется одинаково.

[ewert]

Tiberium в сообщении #1330124 писал(а):

зачем было оригинальничать в этом вопросе.

ewert в сообщении #1330116 писал(а):

наиболее лаконично и универсально (годится сразу для всех кривых)

ewert в сообщении #1330116 писал(а):

дело вкуса