Задача на последовательности

[Charlz_Klug]

Проверьте, пожалуйста, правильность доказательства.

Задача:
Доказать, что если $x_1 = a^{\frac{1}{k}}$ $(a>0)$, $x_{n+1} = \left( \dfrac {a} {x_n} \right)^{\frac {1} {k}}$, $n \in \mathbb{N}$, то $x_n = a^{\frac {1 - \frac {1} {(-k)^n}} {k+1}}$.

Доказательство:
Получается такая последовательность: $\{ a^{\frac {1} {k}}, a^{\frac {k-1} {k^2}}, a^{\frac {k^2 - k +1} {k^3}}, a^{\frac {k^3 - k^2 + k -1} {k^4}}, \cdots, a^{\frac {1 - \frac {1} {(-k)^n}} {k+1}}, \cdots \}$. Отсюда делаю вывод, что можно рассматривать только степени и не обращать внимания на $a$. Тогда последовательность степеней будет такая: $\{ \frac {1} {k}, \frac {k-1} {k^2}, \frac {k^2 - k +1} {k^3}, \frac {k^3 - k^2 + k -1} {k^4}, \cdots, \frac {1 - \frac {1} {(-k)^n}} {k+1}, \cdots \}$.
Для этой новой последовательности рекурсивная формула для очередного члена последовательности будет иметь вид $y_{n+1} = \dfrac {1 - y_n} {k}$, а не рекурсивная формула (не знаю как принято называть такие формулы): $y_{n} = \frac {1 - \frac {1} {(-k)^n}} {k+1}$.
Попробую применить математическую индукцию. Пусть я непосредственным вычислением доказал, что до $n$-го члена формула $y_{n+1} = \frac {1 - \frac {1} {(-k)^n}} {k+1}$ верна. Теперь мне нужно вычислить $n+1$-й член. Из рекурсивной формулы:
$y_{n+1} = \left( 1 - \dfrac {1- \dfrac {1} {(-k)^n}} {k+1} \right) \cdot \dfrac {1} {k} = \dfrac {k+1-1 + \dfrac {1} {(-k)^n}} {k+1} \cdot \dfrac {1} {k} = \dfrac {\left( k + \dfrac {1} {(-k)^n} \right)\cdot \dfrac {1} {k}} {k+1} = \dfrac {\dfrac {k} {k} + \dfrac {1} {(-k)^n \cdot k}} {k+1} = \dfrac {1 + \dfrac {1} {(-1)^n \cdot k^n \cdot k}} {k+1} = \dfrac {1 + \dfrac {-1} {(-1)^n \cdot k^n \cdot k \cdot (-1)}} {k+1} = \dfrac {1 - \dfrac {1} {(-1)^{n+1} \cdot k^{n+1}}} {k+1} = \dfrac {1 - \dfrac {1} {(-k)^{n+1}}} {k+1}$.
То есть, получилась нерекурсивная формула, что и требовалось доказать.

[gris]

"Нерекурсивную" формулу обычно называют формулой общего члена последовательности. По-моему, всё правильно, но уж чересчур подробно. Чисто формально надо показать базу индукции, то есть справедливость формулы для $n=1$. А "непосредственным вычислением" называется предположением индукции. Нет необходимости, да и невозможно(?) непосредственно вычислить формулу для произвольного $n$. Мы просто предполагаем, что она верна.

[Charlz_Klug]

gris, спасибо!

gris в сообщении #1329825 писал(а):

По-моему, всё правильно, но уж чересчур подробно.

Некоторые форумчане делали замечание что я неподробно расписывал мысли. Поэтому решил поподробней описать.