А посчитать углы, плотно ли прилегают все грани?
Dmitriy40, конкретно углы я не считал, но рассуждал следующим способом.
Если три правильных пятиугольника соединить так, чтобы у них была общая вершина, то получится жесткая структура, где плоский угол между двумя гранями будет строго определенный. У додекаэдра этот же угол между любыми двумя соседними гранями. Следовательно, к такой тройке всегда можно присоединить еще один пятиугольник и он точно впишется в свое место, рядом с двумя соседними.
Если продолжать этот процесс, то присоединяя каждый раз по пятиугольнику мы в конце концов получим додекаэдр. В этом случае каждая вершина будет общей ровно для трех пятиугольников.
Но можно так расположить правильные пятиугольники, что общая вершина будет общей для четырех пятиугольников. Попробуйте присоединить к жесткой фигуре из трех пятиугольников еще два, которые уже соединены между собой под тем же самым плоским углом, так, чтобы вершина стала общей для четырех пятиугольников. Это можно сделать единственным способом.
Этот процесс можно продолжать до бесконечности, причем всегда можно присоединить либо один правильный пятиугольник либо пару, соединенных под этим же плоским углом, пятиугольников. Таким образом можно конструировать различные поверхности, как ограниченные, так неограниченные.
