связь диагональных элементов и собственных чисел

[Andrey_Kireew]

Есть положительно определённая матрица $A$ полного ранга, и диагональная матрица $D$ неотрицательными диагональными элементами. Каким образом можно связать собственные числа матрицы $C=A-D$ с элементами матрицы $D$?

[vpb]

Пусть $A$ и $B$ --- две симметрические матрицы (не обязательно положительно определенные, вообще говоря), $C=A+B$, и $m(A)$, $M(A)$ --- наибольшее и наименьшее собственные значения для $A$, и для $B,C$ соответственно. Тогда легко показать, что $m(A)+m(B)\leq m(C)$, $M(A)+M(B)\geq M(C)$. Отсюда можно сделать некоторые выводы.

[Andrey_Kireew]

Но это всего лишь границы. Задача в том, чтобы путём подбора диагональных элементов матрицы $D$ максимально понизить ранг итоговой матрицы $C$. Сколько вообще можно "занулить" собственных чисел за счёт выбора оптимальной формы гребня?

[Евгений Машеров]

Одно (в общем случае). Тут через ранг проще смотреть.

[Andrey_Kireew]

Евгений Машеров а можно как то точно выбрать гребень, чтобы он "занулял" младшее собственное число, или только итеративно? Есть догадка, что нужно взять диагональную матрицу с одинаковыми диагональными элементами, равными минимальному собственному числу матрицы $A$, и если вычесть такую диагональ, то минимальное собственное число обнулится, и ранг уменьшится на единицу. Но это только догадки ...

[vpb]

Обнулится конечно, ясен день !

[Andrey_Kireew]

vpb это уже очень хорошо. А как можно это обосновать? Ну хоть в каком направлении рассуждать, или где почитать про это можно? А то я что то не могу сообразить ...

[Lia]

По определению :) Попробуйте.

[Andrey_Kireew]

Так правильно?
$(A-\lambda E)\cdot v=\lambda v-\lambda E v=0 $
получается, при сохранении положительной определённости, можно "занулить" только минимальное собственное число ...

[Lia]

Andrey_Kireew в сообщении #1329482 писал(а):

при сохранении положительной определённости

Правда, она при этом станет неотрицательной.