Общие собственные вектора пары матриц.

[Noct]

Даны пара матриц

$$A= \left ( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ \end{array} \right )$$

$$B= \left ( \begin{array}{cccc} 6 & -1 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & 5 \\ \end{array} \right )$$

И сказано, что оба оператора имеют ровно 1 собственное значение. Нужно найти базис пространства состоящего из общих собственных векторов этих двух матриц.
Решение в лоб очевидно, найти собственные значения, потом собственные векторы, потом базис пространства пересечения, но слишком муторно.
Является ли следующее решение корректным?
Рассмотрим матрицу $C = AB-BA$
заметим, что если вектор $v$, собственный для $A$ и $B$,
то он лежит в ядре оператора $C$, а ядро такого оператора найти уже легко.
Вопрос все ли общие собственные векторы лежат в ядре $C$?

[vpb]

Непонятен вопрос. Любой вектор, являющийся собственным и для $A$, и для $B$, лежит в ядре $C$. Это ясно. Может, Вы хотели спросить, верно ли, что любой вектор из ядра $C$ является собственным и для $A$, и для $B$ ? Это, вообще говоря, не обязательно так.

Отмечу, что собственные значения для $A$ и $B$ в данной ситуации ищутся легко. Подумайте, как.

[ewert]

Noct в сообщении #1328229 писал(а):

И сказано, что оба оператора имеют ровно 1 собственное значение.

Тут требуется телепатия. Что имелось в виду: ровно по одному собственному числу каждый, или ровно одно общее собственное число, или ещё что?...

Как минимум одно собственное число первой матрицы -- двойка -- очевидно. Немножко поднатужась, выписываем полное характеристическое уравнение и видим, что других с.ч. у неё нет. И что двойка не является собственным числом второй матрицы. Так что принимаем первую трактовку условия задачи.

Начать с выписывания собственного подпространства первой матрицы в любом случае небесполезно. И оно оказывается (о чудо!) одномерным. Остаётся лишь проверить -- что?...

[Optimizator]

ewert писал(а):

И что двойка не является собственным числом второй матрицы.

Ошибочка тут и в определении размерности пространства. Первая матрица имеет два линейно независимых левых собственных вектора: $v_1=(1001)$ и $v_2=(0100)$. Легко проверить, что $v_1$ является собственным вектором для второй матрицы, а $v_2$ нет.

В формулировке задачи, наверное, подразумеваются левые собственные векторы. Для правых собственных имеет ли задача простое решение?

[ewert]

Optimizator в сообщении #1328797 писал(а):

Ошибочка тут и в определении размерности пространства.

Да, тут я глюкнул. Тогда можно примерно так. У нас есть двумерный базис собссного п/пр для первой матрицы. Требуем, чтоб некоторая линейная комбинация этого базиса была собств. в. для второй. Параметров два: коэфф. л.к. (поскольку мы знаем, что ни один из базисных не подходит, хоть я и не проверял) -- и само с.ч. Уже по первым двум компонентам получится не более чем квадратное уравнение.