задачи на интергрирование и дифференцирование

[lexus c.]

1. Дана функция

\[ f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}} {{x^2 + 7x - 8}} \]

. Найти её 2007 производную в нуле.
2. Используя метод интегрирования по частям, получить формулу для вычисления

\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin ^n xdx} \]

. Найти

\[ I_{123} \]

.

[ewert]

1-е -- разложением на прстейшие; 2-е -- лень.

[Руст]

2. Простая рекуренция после интегрирования по частям $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$.

[lexus c.]

Из той же олимпиады (это студенческая олимпиада первокурсников по высшей математике в РГУ 2007 года):
3. Вычислить

\[ A \]

при

\[ n = 2007 \]

:

\[ A = \frac{1} {{\left( {n - 2} \right)!}}\left( {\left( {n - 1} \right)^{n - 1} - C_{n - 2}^1 \left( {n - 2} \right)^{n - 1} + C_{n - 2}^2 \left( {n - 3} \right)^{n - 1} - ... + \left( { - 1} \right)^{n - 3} C_{n - 2}^{n - 3} 2^{n - 1} + \left( { - 1} \right)^{n - 2} C_{n - 2}^{n - 2} 1^{n - 1} } \right) \]

.

[Руст]

Обозначим оператор дискретного дифференцирования $Df(x)=f(x+1)-f(x)$. Тогда $D^mf(x)=f(x+m)-C_m^1f(x+m-1)+...+(-1)^mf(x)$ и искомая величина находится как $D^{n-2}f(x)|_{x=1}, \ f(x)=x^{n-1}$. Из $d^mx^k=k(k-1)...(k+1-m)x^{k-m}+\frac{m}{2}k(k-1)...(k-m)x^{k-m-1}+...$ многочлен степени k-m, а в нашем случае ($k=n-1,m=n-2$) линейный многочлен $(n-1)!(x+\frac{m}{2}$.
Поэтому $A=(n-1)(1+\frac{n-2}{2})=C_n^2.$