Если бы существовали такие взаимно простые

, большие нуля, что выполнялось бы равенство

, то среди множества решений уравнения

было бы и такое, которое для

давало бы

.
Как это уравнение решается, можно посмотреть по следующим ссылкам:
https://sites.google.com/site/tpiezas/006https://www.emis.de/journals/GM/vol13nr2/andrica/andrica.pdfЗапишем решения этого уравнения:

, где

произвольные целые числа.
Подставив в первых двух выражениях вместо

, далее перенести член с

из правой части в левую в первом равенстве, во втором равенстве перенести член с

, затем перемножив левые и правые части и сократив на

можно получить в итоге такое выражение:

Видно, что при целых

и

не получить целое

,

или

нулевые не подходят в качестве решений, так как

по условию должны быть больше нуля. То есть нет таких натуральных

и

, чтобы первое уравнение было возможно.
Пока не понял одного, все ли решения даются для уравнения

, или приводятся только те, которые несложно получить. Например в книге Серпинского "О решении уравнений в целых числах" на странице 62 можно прочесть "Ещё Эйлер знал, что все решения уравнения

, где числа

и

взаимно простые, можно получить из тождества
![$$[\pm \frac{(r+is)^n + (r-is)^n}{2}]^2 + [\pm \frac{(r+is)^n - (r-is)^n}{2i}]^2 = (r^2 + s^2)^n$$ $$[\pm \frac{(r+is)^n + (r-is)^n}{2}]^2 + [\pm \frac{(r+is)^n - (r-is)^n}{2i}]^2 = (r^2 + s^2)^n$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/a/9cab09b1e7ce4dfe20cc069afb877ca482.png)
, где

и

натуральные взаимно простые числа, из которых одно чётное." Члены с числом i очевидно после раскрытия скобок сократятся. Далее по тексту можно прочесть "А Шинцель доказал элементарно, что все решения уравнения

в натуральных числах

, где

и

взаимно простые числа, можно получить из тождества
![$$[r(r^2 - 6s^2)]^2 + 2[s(3r^2 - 2s^2)]^2 = (r^2 + 2s^2)^3$$ $$[r(r^2 - 6s^2)]^2 + 2[s(3r^2 - 2s^2)]^2 = (r^2 + 2s^2)^3$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/a/11afc753e9e3703102624e012ce8df1082.png)
, в котором

и

взаимно просты."
Ну и по ссылке
https://math.stackexchange.com/questions/2062185/prove-that-the-equation-ax2by2-z3-in-integers-has-infinitely-many-solution можно увидеть подобную запись для уравнения

Решения этого уравнения для взаимно простых

и

можно получить из тождества
![$$a[u(au^2 - 3bv^2)]^2 + b[v(3au^2 - bv^2)]^2 = (au^2 + bv^2)^3$$ $$a[u(au^2 - 3bv^2)]^2 + b[v(3au^2 - bv^2)]^2 = (au^2 + bv^2)^3$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/9/5d9d1bc53d87d9e8f06740b4d3b5442d82.png)
, где

и

взаимно просты.