Возможно ли использовать решения уравнения AX2+BY2=Z3 ?

[yk2ru]

Если бы существовали такие взаимно простые $(a,b)$, большие нуля, что выполнялось бы равенство

$$a^3 + b^3 = c^3$$

, то среди множества решений уравнения

$$ax^2 + by^2 = z^3$$

было бы и такое, которое для $(x,y)$ давало бы $(a,b)$ .
Как это уравнение решается, можно посмотреть по следующим ссылкам:
https://sites.google.com/site/tpiezas/006
https://www.emis.de/journals/GM/vol13nr2/andrica/andrica.pdf
Запишем решения этого уравнения:

$$\begin{cases} x = u(au^2 - 3bv^2)\\ y = v(3au^2 - bv^2)\\ z = au^2 + bv^2\\ \end{cases}$$

, где $(u,v)$ произвольные целые числа.
Подставив в первых двух выражениях вместо $(x,y)$ $(a,b)$, далее перенести член с $a$ из правой части в левую в первом равенстве, во втором равенстве перенести член с $b$, затем перемножив левые и правые части и сократив на $ab$ можно получить в итоге такое выражение:

$$v^3 = \frac{u^3 - 1}{8u^3 + 1}$$

Видно, что при целых $u>1$ и $u<0$ не получить целое $v$, $u$ или $v$ нулевые не подходят в качестве решений, так как $(a,b)$ по условию должны быть больше нуля. То есть нет таких натуральных $a$ и $b$, чтобы первое уравнение было возможно.
Пока не понял одного, все ли решения даются для уравнения $ax^2 + by^2 = z^3$, или приводятся только те, которые несложно получить. Например в книге Серпинского "О решении уравнений в целых числах" на странице 62 можно прочесть "Ещё Эйлер знал, что все решения уравнения

$$x^2 + y^2 = z^n$$

, где числа $x$ и $y$ взаимно простые, можно получить из тождества

$$[\pm \frac{(r+is)^n + (r-is)^n}{2}]^2 + [\pm \frac{(r+is)^n - (r-is)^n}{2i}]^2 = (r^2 + s^2)^n$$

, где $r$ и $s$ натуральные взаимно простые числа, из которых одно чётное." Члены с числом i очевидно после раскрытия скобок сократятся. Далее по тексту можно прочесть "А Шинцель доказал элементарно, что все решения уравнения

$$x^2 + 2y^2 = z^3$$

в натуральных числах $x, y, z$, где $x$ и $y$ взаимно простые числа, можно получить из тождества

$$[r(r^2 - 6s^2)]^2 + 2[s(3r^2 - 2s^2)]^2 = (r^2 + 2s^2)^3$$

, в котором $r$ и $2s$ взаимно просты."
Ну и по ссылке https://math.stackexchange.com/questions/2062185/prove-that-the-equation-ax2by2-z3-in-integers-has-infinitely-many-solution можно увидеть подобную запись для уравнения

$$ax^2 + by^2 = z^3$$

Решения этого уравнения для взаимно простых $ax$ и $by$ можно получить из тождества

$$a[u(au^2 - 3bv^2)]^2 + b[v(3au^2 - bv^2)]^2 = (au^2 + bv^2)^3$$

, где $u$ и $v$ взаимно просты.

[yk2ru]

Наверное всё же правильно писать, что $au$ и $bv$ должны быть взаимно просты для приведённых решений. Возможно, что и чётность нужна в одной из сторон.

[binki]

yk2ru в сообщении #1328345 писал(а):

Пока не понял одного, все ли решения даются для уравнения $ax^2 + by^2 = z^3$, или приводятся только те, которые несложно получить.

Уважаемый yk2ru!
Возникает еще один вопрос. Поставляют ли целые решения иррациональные числа $(u,v)$? Ведь произведение или сумма иррациональных могут быть натуральными числами. Поэтому надо доказать, что выражения, определяющие тройку решения $(X,Y,Z)$ не могут представлять целые числа, если $(u,v)$ - иррациональные.

[yk2ru]

А про рациональные вам ясно, что не поставляют? Раз спрашиваете про иррациональные только.

[yk2ru]

binki в сообщении #1328976 писал(а):

Возникает еще один вопрос. Поставляют ли целые решения иррациональные числа $(u,v)$?

Про решение уравнения записано, что $(u,v)$ произвольные целые числа. Ни о каких расширениях в сторону рациональных или иррациональных чисел в статьях по ссылкам вроде бы не говорится.