Состояния в прямоугольных одномерной и сферической ямах

[reterty]

Как известно из квантовой механики http://files.libedu.ru/mls4nrxdybvo3j85 ... tom_1.djvu (стр. 165-171)
волновые функции и уровни энергии в сферической прямоугольной квантовой яме со значением орбитального квантового числа
$l=0$ соответствуют функциям и уровням энергии прямоугольной одномерной квантовой ямы с четными значениями
квантового числа $n$. Почему же отсутствуют в данной яме с $l=0$
(отсутствие вращательного а лишь поступательное движение как и в одномерной яме) состояния с отрицательной четностью (нечетные).
Другими словами, почему симметрия сферы не допускает состояний для которых волновая функция нечетна и
обращается в нуль в центре сферы, а симметрия отрезка (относительно его середины) допускает такие состояния?
Чисто формальный ответ: нечетные состояния приводят к расходимости при $r=0$ (т.е в центре сферы) интеграла для среднего значения энергии.
На мой взгляд, сферическая симметрия задачи не допускает нечетных состояний, поскольку они приводят к расходимости нормировочного интеграла в данном случае.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Вам действительно необходимо сослаться на все 340 страниц задачника?
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

А вы понимаете, что такое $l=0$?

[reterty]

Munin в сообщении #1328769 писал(а):

А вы понимаете, что такое $l=0$?

Естественно. Отсутствие момента импульса, т.е. вращательного движения. Частица колеблется от стенки к стенке....как и в одномерной яме

[Munin]

Не понимаете, сталбыть. А какое состояние у частицы в сферически-симметричной яме, если определены квантовые числа $n,l,m$? Будем подводить к ответу постепенно.

[reterty]

Munin в сообщении #1328780 писал(а):

Не понимаете, сталбыть. А какое состояние у частицы в сферически-симметричной яме, если определены квантовые числа $n,l,m$? Будем подводить к ответу постепенно.

Вродь как проясняется..... За четность или нечетность ответственны теперь сферические функции $Y_{l,m}$, которые при четных $l$ отвечают положительной
четности, а при нечетных-отрицательной. Поэтому состояния с $l=0$ (и. естественно, $m=0$) отвечают лишь четным значениям $n=2,4,6...$.
А куда же тогда "исчезли" нечетные состояния из горячо любимой всеми одномерной ямы? В чем же различие между "чисто" поступательно-колебательным движением
в сферической и одномерной ямах? Центральная симметрия обоих задач говорит лишь о том, что дожны быть инверсионно-симметричными квадраты модулей волновых функций
но не самих функций (которые могут быть как четными так и нечетными)

[Munin]

reterty в сообщении #1328827 писал(а):

А куда же тогда "исчезли" нечетные состояния из горячо любимой всеми одномерной ямы?

А никуда не исчезали. Просто они раскладываются по состояниям с нечётными $l.$

Вы можете взять состояния с $l=1,m=\pm 1,$ и они дадут вам нечто похожее на "чисто поступательное" колебание в одномерной или в пространственно прямоугольной яме. Но вы видите, что это не будет собственное состояние по квантовым числам $l,m.$

Состояния с разными $l$ могут быть невырожденными, смотря по профилю ямы (в атоме водорода они вырождены). Состояния с разными $m,$ кажется, всегда вырождены (уж по крайней мере, с одинаковыми $|m|$ - точно всегда). А раз они вырождены, то можно выбирать разные базисы, и раскладывание на радиальную и стандартную сферическую часть - только один из вариантов.

Так что все состояния там есть, которые вы хотите, просто они по-другому называются.

[reterty]

Я попытаюсь переформулировать вопрос иначе. В случае сферической квантовой ямы по сравнению с одномерной ямой:
1) меняются граничные условия для волновой функции (при этом добавляются две степени свободы);
2) появляется центробежная энергия $\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}$-возмущение не малое для больших $l$;
Меня удивляет (т.е. я не могу найти простое обьяснение) тот факт, что при $l=0$ уровни энергии в такой яме совпадают
с уровнями энергии в одномерной яме но для четных $n$; получается, что для частиц без орбитального движения
добавление двух новых координат плюс сферические краевые условия исключили нечетные состояния. Да, они "влезли" в нечетные состояния с нечетными $l$,
но все же окончательно "квантово-механическое" поступательно-колебательное ($l=0$) движение частицы в одномерной и сферической ямах (видимо, за счет граничных условий)
различаются.

[Munin]

reterty в сообщении #1328946 писал(а):

Меня удивляет (т.е. я не могу найти простое обьяснение) тот факт, что при $l=0$ уровни энергии в такой яме совпадают
с уровнями энергии в одномерной яме но для четных $n$

Можно с этого места конкретные выкладки? Начиная с функции $U(\mathbf{r}).$ Я про такое совпадение слышу впервые, но может быть, просто неэрудирован.

-- 26.07.2018 16:49:21 --

reterty в сообщении #1328946 писал(а):

но все же окончательно "квантово-механическое" поступательно-колебательное ($l=0$) движение частицы в одномерной и сферической ямах (видимо, за счет граничных условий) различаются.

Начать с того, что они отличаются за счёт того, что лапласиан - разный оператор, для одномерной и сферически-симметричной задачи.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1328962 писал(а):

Я про такое совпадение слышу впервые, но может быть, просто неэрудирован

Это так, и без всякой прямоугольности.

Munin в сообщении #1328962 писал(а):

Начать с того, что они отличаются за счёт того, что лапласиан - разный оператор, для одномерной и сферически-симметричной задачи.

3х-мерный сводится к одномерному:

$$r(u'' + 2r^{-1} u')= (ur)''.$$

Поэтому, например, легко найти решение волнового уравнения в виде сферической волны. А вот в двумерии ничего подобного нет (равно как и принципа Гюйгенса)

[Cos(x-pi/2)]

Попробую тоже дать пояснения. Для ТС. Речь у меня только о случае с $l=0.$

(Три пояснения для ТС)

1. Волновая функция частицы с $l=0$

$\psi_{n00}(\mathbf{r})=R_n(r)Y_{00}(\theta, \phi),$ (где $Y_{00}(\theta, \phi)$ есть постоянная)

в 3-мерной яме $U(r)$ удовлетворяет уравнению

$\frac{d^2\psi}{dr^2}+\frac{2}{r}\, \frac{d\psi}{dr}+\frac{2m}{\hbar^2}\left( \varepsilon-U(r) \right ) = 0.$

Это уравнение очевидным образом отличается от уравнения для волновой функции $\psi_n(x)$ частицы в одномерной яме $U(x):$

$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left( \varepsilon-U(x) \right ) = 0.$

Очевидным образом различаются и "картины движения" частицы в одномерной и трёхмерной ямах: в одномерной задаче $|\psi(x)|^2 dx$ - вероятность обнаружения частицы в интервале $dx$ на линии, а в трёхмерной задаче $|\psi(\mathbf{r})|^2\,d^3\mathbf{r}$ - вероятность обнаружения частицы в трёхмерном элементе объёма $d^3\mathbf{r}$ с радиус-вектором $\mathbf{r},$ направленным под произвольными углами $\theta, \, \phi.$

"Облако вероятности" $|\psi(\mathbf{r})|^2 = |R_n(r)|^2\cdot \text{const}$ - сферически симметричное (поскольку $l=0).$ Оно, в отличие от $|\psi(x)|^2,$ не сосредоточено на линии, и поэтому нет смысла объяснять его себе каким-то загадочным "колебательно-поступательным" движением частицы. Различие уравнений для $\psi(\mathbf{r})$ и $\psi(x)$ также не даёт повода сопоставлять решения одномерной и трёхмерной задач на основе лишь пальцевых "колебательно-поступательных соображений".



2. Оказывается (так уж повезло с математикой), что подстановкой $R(r)=\chi(r)/r$ уравнение трёхмерной задачи приводится для вспомогательной функции $\chi(r)$ к уравнению того же вида, что и для $\psi(x)$ в одномерной задаче:

$\frac{d^2\chi}{dr^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left( \varepsilon-U(r) \right ) = 0$ (при $l=0).$

Физический смысл у функций $\chi(r)$ и $\psi(x)$ разный (функция $|\chi(r)|^2$ не равна плотности вероятности $|R(r)|^2$ в трёхмерной задаче), но математический повод сравнивать решения $\chi(r)$ и $\psi(x)$ есть, и осталось только разобраться, как сравнивать потенциал $U(x),$ задаваемый на оси $x,$ с заданным в трёхмерном пространстве потенциалом $U(r).$

Замечаем, что на вспомогательную функцию $\chi(r)$ резонно наложить граничное условие

$\chi(r) \to 0$ при $r \to 0,$

чтобы избежать проблем с обращением в бесконечность настоящей волновой функции $\psi=\frac{1}{r}\chi Y_{00}$ при $r=0.$

Чтобы обоснованно наложить такое же условие на $\psi(x)$ в одномерной яме,

$\psi(x)|_{x=0}=0,$

следует выбрать одномерную яму $U(x)$ с бесконечно высокой стенкой при $x=0:$

$U(x)=\infty$ при $x < 0, \qquad U(x)=U(r)|_{r=x}$ при $x \ge 0.$

Говоря наглядно: в трёхмерной задаче частице недоступны отрицательные значения радиальной координаты $r,$ доступны только $r \ge 0,$ поэтому и в соответствующей одномерной задаче мы не разрешаем частице заходить в область отрицательных значений $x$ - ставим при $x < 0$ бесконечно высокий потенциальный барьер. Ну, а в области положительных значений аргумента графики одномерного $U(x)$ и трёхмерного $U(r)$ потенциалов пусть себе совпадают; в общем случае при $x > 0$ не обязан находиться бесконечно высокий барьер, рельеф ям может быть достаточно произвольным, так что в общем случае речь идёт о какой-то "несимметричной яме".

Понятно, что при таком выборе $U(x)$ решения $\psi_n(x)$ и $\chi_n(r)$ будут одинаковыми (и уровни $\varepsilon_n$ тоже. Нюанс, свойственный несимметричным ямам $U(x)$: если яма недостаточно "мощная", то в ней нет ни одного уровня. Будем считать, что наши рассматриваемые ямы достаточно мощные).

Смысл квантового числа $n$ в одномерной и трёхмерной задачах разный. В одномерной яме уровни не вырождены, и действует "осцилляционная теорема": волновая функция $\psi(x)$ нижнего уровня не имеет узлов, а на каждом следующем уровне добавляется один узел. Для нумерации волновых функций и уровней можно воспользоваться этим числом узлов, $n_p=0,\,1,\,2,\, ...\, .$ С тем же успехом можно воспользоваться определением $n=n_p+1,$ тогда нумерацию $\psi_n$ и $\varepsilon_n$ в одномерной и трёхмерной яме при $l=0$ можно выбрать одинаковой.

В трёхмерной яме осцилляционная теорема в применении к $\chi(r)$ позволяет нумеровать функции $\chi(r)$ числом их узлов $n_r=0,\,1,\,2,\, ...\, ;$ оно одновременно является числом узлов радиальной функции $R(r).$ "Главное квантовое число" $n$ в трёхмерной задаче принято определять формулой $n=n_r+l+1.$ Уровни энергии при произвольном моменте $l$ вырождены по проекции момента $m,$ но зависят от $n_r$ и $l.$ Отсюда видно, что при $l=0$ можно нумеровать уровни и волновые функции "главным квантовым числом" $n=n_r+1=1,\,2,\, ...\, ;$ получается такая же нумерация как и для состояний в одномерной яме $U(x).$



3. Никакой "пропажи" уровней в рассмотренном сюжете нет. "Пропажа" есть в другом сюжете, чисто одномерном. Из рассмотренной выше несимметричной ямы $U(x)$ сделаем симметричную яму $U_s(x),$ убрав бесконечно высокий барьер при $x < 0$ и симметрично доопределив потенциал в область отрицательных $x:$

$U_s(x)=U(-x)$ при $x <0, \qquad U_s(x)=U(x)$ при $x \ge 0.$

Все волновые функции, найденные в несимметричной яме, являются решениями и для симметричной ямы, причём, очевидно, они имеют узел в центре ямы (обращаются в ноль при $x=0);$ значит, это нечётные решения: $\psi_n(-x)=-\psi_n(x).$ По осцилляционной теореме волновая функция самого нижнего уровня не должна иметь узлов, и, значит, в симметричной яме должна быть чётной; чётными будут и функции с двумя узлами, с четырьмя и т. д.

Таким образом: нечётные решения для симметричной ямы $U_s(x)$ являются решениями и для несимметричной ямы $U(x)$ с бесконечной стенкой, расположенной в центре симметричной ямы, а чётные решения пропадают - не являются решениями в несимметричной яме.



В частном случае, когда прямоугольная одномерная яма ограничена бесконечными стенками с обоих концов, её можно саму по себе рассматривать как симметричную. Но если решения $\psi(x)$ в ней хочется интерпретировать как $\chi(r),$ то следует считать эту яму несимметричной: её левая бесконечно высокая стенка находится в точке $x=0,$ соответствующей $r=0.$ Никакой "пропажи" уровней при сопоставлении такой одномерной задачи с трёхмерной задачей нет.

[Red_Herring]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1329021 писал(а):

функция $|\chi(r)|^2$ не равна плотности вероятности $|R(r)|^2$ в трёхмерной задаче)

С другой стороны, вероятность 3хмерной частицы находиться в шаровом слое толщины $dr$ равна $4\pi r^2|R(r)|^2= 4\pi |\chi(r)|^2$

Cos(x-pi/2) в сообщении #1329021 писал(а):

чтобы избежать проблем с обращением в бесконечность настоящей волновой функции

В принципе, волновые функции могут обращаться в бесконечность (а почему бы и нет, условие лишь квадратичная суммируемость), но не в данном случае, поскольку она собственная функция; даже если потенциал сингулярен.

[Munin]

Red_Herring
Спасибо большое за пояснения. У меня было слишком мало практики, раз я о таких элементарных вещах не знаю.

-- 26.07.2018 21:28:59 --

Cos(x-pi/2)
Наконец-то я понял вопрос. Спасибо и вам!

[reterty]

Кстати, а можно ли утверждать, что именно из-за того что квантовые числа $l$ и $n_r$ являются независимыми, результирующий спектр в сферической яме
содержит как "сгущения" так и "разрежения"?