Стохастическая упорядоченность

[Optimizator]

Некоторые лекторы из МГУ дают следующее определение.
Случайные величины (и их распределения) стохастически упорядочены: $\xi\succeq\eta$, если

$$ \Prob\{\xi>x\}\ge \Prob\{\eta>x\} \quad \forall x\in R, $$

т.е. $F_{\xi}(x)\le F_{\eta}(x)$, $x\in R$.

Очевидно, что если $\Prob\{\xi\ge\eta\}=1$, то $\xi\succeq\eta$. Например, семейства биномиальных и пуассоновских распределений стохастически упорядочены: $Bin(n_1,p)\succeq Bin(n_2,p)$ при $n_1\ge n_2$, $Pois(\lambda_1)\succeq Pois(\lambda_2)$ при $\lambda_1\ge \lambda_2$.

Не подскажете, в каких книгах или статьях можно об этом почитать? Верно ли, что если $\xi_1\succeq\eta_1$ и $\xi_2\succeq\eta_2$ и cлучайные величины $\xi_1,\xi_2$ независимы, $\eta_1,\eta_2$ независимы, то $\xi_1+\xi_2\succeq\eta_1+\eta_2$?

[pogulyat_vyshel]

Optimizator в сообщении #1328246 писал(а):

Верно ли, что если $\xi_1\succeq\eta_1$ и $\xi_2\succeq\eta_2$ и cлучайные величины $\xi_1,\xi_2$ независимы, $\eta_1,\eta_2$ независимы, то $\xi_1+\xi_2\succeq\eta_1+\eta_2$?

ну этож какое-то упражнение по интегрированию банальное

[Optimizator]

По формуле свертки не получается что-то

[pogulyat_vyshel]

ну не знаю, я вот для случая когда все случайные величины принимают конечные множества значений посчитал, вроде все получилось

[--mS--]

Optimizator в сообщении #1328249 писал(а):

По формуле свертки не получается что-то

$$ \mathsf P\{\xi_1+\xi_2 > x\} = \int\limits_{\mathbb R} \mathsf P\{\xi_1 > x-t\} \, dF_{\xi_2}(t) \geq \int\limits_{\mathbb R} \mathsf P\{\eta_1 > x-t\} \, dF_{\xi_2}(t) = \mathsf P\{\eta_1+\xi_2 > x\}. $$

Дальше так же.

[alisa-lebovski]

Цитата:

Не подскажете, в каких книгах или статьях можно об этом почитать?

Попробуйте поискать Е.В.Булинская "Теория риска и перестрахование", там об этом и других отношениях стохастического порядка. Еще есть старая книжка - Д.Штойян "Качественные свойства и оценки стохастических моделей", 1979.

Цитата:

Верно ли, что если $\xi_1\succeq\eta_1$ и $\xi_2\succeq\eta_2$ и cлучайные величины $\xi_1,\xi_2$ независимы, $\eta_1,\eta_2$ независимы, то $\xi_1+\xi_2\succeq\eta_1+\eta_2$?

Есть теорема, что такие случайные величины можно построить на одном вероятностном пространстве, так что они будут просто больше или равны (с вероятностью единица).

[Optimizator]

Большое спасибо, --mS--. Я тоже понял, что надо сначала одну случайную величину прибавлять, но сделал сложнее --- через представление вероятности c помощью условного мат. ожидания.

Но главная моя задача немного другая, касающаяся случайных графов --- случайных элементов нечисловой природы. Пусть $E=\{1,\ldots,n\}^{(2)}$ --- множество всех ребер (подмножеств мощности 2), каждому ребру $e\in E$ соответствует вероятность $p_e$ и бернуллиевская случайная величина $g_e\sim Be(p_e)$, случайные величины независимы. Cлучайный граф $G_0$ формируется так: при некотором фиксированном $E_0\subset E$ в него включаются те и только те ребра $e\in E_0$, для которых $g_e=1$.
Далее рассматривается случайное множество $E_1\subset E\setminus E_0$, состоящее из ребер, хотя бы одна вершина которых лежит в $G_0$, и по нему создается случайный граф $G_1(G_0)$.

Здесь также вводится стохастическая упорядоченность: случайный граф $H_0$ обладает свойством $H_0\succeq G_0$, если $\Prob\{H_0\supset K\}\ge \Prob\{G_0\supset K\}$ для любого подграфа $K\subset E$. Это будет выполнено, если $H_0$ определяется независимыми случайными величинами $h_e\sim Be(q_e)$, а $q_e\ge p_e$ для всех $e\in E_0$, поскольку тогда для $K\subset E$ (в противном случае вероятности нулевые)

$$ \Prob\{H_0\supset K\}=\prod_{e\in K}q_e \ge \prod_{e\in K}p_e=\Prob\{G_0\supset K\}. $$

Как доказать, что если $H_0\succeq G_0$ и $q_e\ge p_e$ для всех $e\in E\setminus E_0$, то $H_1(H_0)\succeq G_1(G_0)$?

-- 23.07.2018, 10:48 --

Спасибо, alisa-lebovski! Обязательно посмотрю.

[Optimizator]

Прошу Вашего внимания и комментариев. Кажется, получилось доказать.

1. Рассматривая в качестве графов $K\subset E$ отдельные ребра, видим, что условие $q_e\ge p_e$ для всех $e\in E_0$ является не только достаточным, но и необходимым для $H_0\succeq G_0$. Поэтому далее считаем его выполненным.

2.

alisa-lebovski писал(а):

Есть теорема, что такие случайные величины можно построить на одном вероятностном пространстве, так что они будут просто больше или равны (с вероятностью единица).

Это теорема 1.2.1 из книги Штойяна, любезно указанной alisa-lebovski. Построим аналогично единое вероятностное пространство для графов.

В качестве ПЭС возьмем декартово произведение единичных кубов
$\Omega_0:=[0,1]^{|E_0|}$ и $\Omega_1:=[0,1]^{|E_1^*|}$ с заданной на них мерой Лебега, где $E_1^*$ - все ребра, инцидентные множеству $E_0$. Зададим случайные индикаторы на $\Omega_0$:

$$ g_e:={\mathbb I}\{w_e\le p_e\},\quad h_e:={\mathbb I}\{w_e\le q_e\}, $$

$w_e$ -- координата элементарного исхода $\vec w\in\Omega_0$, соответствующая набору $e\in E_0$.
Тогда $g_e\le h_e$.

Теперь зададим вторую группу случайных индикаторов для $e\in E_1^*$:

$$ g_e:={\mathbb I}\{w_e\le p_e \max_{d\in E_0(e)} g_d \},\quad h_e:={\mathbb I}\{w_e\le q_e\max_{d\in E_0(e)} h_d\}, $$

$E_0(e)$ - все ребра из $E_0$, инцидентные ребру $e$. Так как
$\max_{d\in E_0(e)} g_d \le \max_{d\in E_0(e)} h_d$, то и здесь $g_e\le h_e$, $e\in E_1^*$.
Следовательно, $G_1\subset H_1$, что влечет $H_1\succeq G_1$.