Теорема Нетер

[pogulyat_vyshel]

Имеется система с лагранжианом $L=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^j\dot x^i-V(x),$ где как обычно в механике $g_{ij}$ -- риманова метрика на конфигурационном многообразии снабженном локальными координатами $x^i$.

Как известно, все линейные по скоростям интегралы этой системы являются нетеровыми. Интеграл энергии квадратичен по скоростям, он тоже нетеров. Нетеровых интегралов степени 3 и выше не бывает. Отсюда в частности следует, что интеграл четвертой степени у волчка Ковалевской нетеровым не является.

Вопрос: а верно ли, что вообще все интегралы второй степени нетеровы? Подозреваю, что ответ на этот вопрос прост и этот ответ "нет", но как-то не могу сосредоточиться. Какие будут соображения?

[scwec]

Если вопрос в том, верно ли, что всегда квадратичная по скоростям часть первого интеграла является положительно определенной квадратичной формой, как в приведенном выше Лагранжиане, то ответ нет.
Например, первый интеграл $1/2(x\dot y-y\dot x)^2-\int{y^2(y\frac{\partial{V}}{\partial{x}}-x\frac{\partial{V}}{\partial{y}})d(\frac{x}{y})}$ для системы с Лагранжианом
$1/2((\dot x)^2+(\dot y)^2)-V(x,y)$, где $V(x,y)$ - однородная функция по $x,y$ степени $-2$.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1327622 писал(а):

Если вопрос в том, верно ли, что всегда квадратичная по скоростям часть первого интеграла является положительно определенной квадратичной формой

вопрос не в этом

[scwec]

Видимо, вопрос заключался в том, всегда ли является квадратичный интеграл (кроме энергии - она нетеров интеграл за счет независимости от времени) квадратичной формой от линейных нетеровых интегралов. Приведенный пример говорит, что нет.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1327686 писал(а):

Видимо, вопрос заключался в том, всегда ли является квадратичный интеграл (кроме энергии - она нетеров интеграл за счет независимости от времени) квадратичной формой от линейных нетеровых интегралов. Приведенный пример говорит, что нет.

Нет. И так, как и в случае с интегралом энергии расширим конфигурационное пространство нашей системы включив туда время $t=\phi(\tau)$ подробности см Арнольд Мат. методы. Этой новой системе будет соответствовать лагранжиан
$\mathcal L(\phi,x,\phi',x')=\phi'L(x,x'/\phi')$ Вопрос: верно ли что всякий квадратичный интеграл исходной системы порожден нетеровой группой симметрий лагранжиана $\mathcal L$?

[scwec]

Не поленился и просмотрел сейчас десятка полтора работ по полиномиальным интегралам, в основном по квадратичным, с 70-х годов и до наших дней.
В постановке обращения к неавтономному случаю ни разу не встретил. Вы, похоже, здесь пионер. Но, может, что-то пропустил.
Как возникают квадратичные интегралы - по этому поводу имеется интересная статья Татаринова в Вестнике МГУ №3 1978 года. Для нахождения-то интегралов малополезна, но зато есть необходимые и достаточные условия их существования.
Читал я её давно и мне она ещё тогда понравилась. Ну и далее целый спектр имен (не перечисляю).
Мне почему-то кажется, что этот пример, который я привел, решает вопрос. Надо подумать.

[scwec]

Общий вид нётерова интеграла по рецепту Арнольда для исходной системы выглядит так:
$I=L-\Sigma{\dot x^i}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot x^i}}+\Sigma\xi^i\frac{\partial{L}}{\partial{\dot x^i}}$ где X=$\Sigma{\xi^i}\frac{\partial}{\partial{x^i}}+\frac{\partial}{\partial{t}}$ - нетерово векторное поле на $M^n\times{R}$.
В нашем случае квадратичная часть $I$ - это квадратичная форма кинетической энергии $T$.
Получается, что любой другой квадратичный интеграл независимый от $I$ не является нётеровым.

[pogulyat_vyshel]

я говорю об общем сулучае $z=(x^1,\ldots,x^m,\phi),\quad X=X^i(z)\frac{\partial}{\partial z^i}$

[scwec]

Извиняюсь, пропустил коэффициент при $\frac{\partial}{\partial{t}}$.
В общем случае, если на $M^n\times{R}$ имеется нетерово поле $X=\Sigma{\xi^i{(x,t)}}\frac{\partial}{\partial{x^i}}+a(x,t)\frac{\partial}{\partial{t}}$,
то первый интеграл исходной системы $I=a(x,t)(L-\Sigma{\dot x^i}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot x^i}})+\Sigma\xi^i\frac{\partial{L}}{\partial{\dot x^i}}$
Так что для ответа на исходный вопрос ситуация не изменилась.
В частности, приведенный мной интеграл не является нетеровым.

[pogulyat_vyshel]

ok