Определите координаты центра и радиус окружности

[Tiberium]

Определите координаты центра и радиус окружности

$ x^2+y^2+z^2-12x+4y-6z+24=0, 2x+2y+z+1=0$

Прошу натолкнуть на мысль. Как рассуждать в этой задаче? Я откровенно слаб в любом виде геометрии, поэтому попыток решения особо и нет.
Обозначим искомый центр окружности $O$ с координатами $(a,b,c)$. Ясно, что эта точка должна принадлежать как сфере, так и плоскости — отсюда получаем два условия.

Что ещё должно выполниться?

Буду благодарен также за рекомендации по выбору хорошего задачника с подобными задачами, желательно с примерами решения.

[Cash]

Из центра сферы опустите перпендикуляр на плоскость.

[thething]

Сперва выделите полный квадрат в уравнении сферы и убедитесь, что центр сферы не лежит в плоскости. Таким образом, надо будет найти проекцию центра сферы на плоскость вдоль вектора нормали. Для этого составляете параметрические уравнения прямой, проходящей через центр сферы в направление нормали, подставляете эти уравнения в уравнение плоскости, находите параметр и получаете центр окружности. Пока это сделайте, дальше посмотрим. Книг с решениями посоветовать не могу.

[Neoguri]

Осторожно, центр окружности пересечения может не лежать на сфере. Более того, он почти всегда не лежит на ней.

Я бы попробовал представить себе эту картину геометрически. Подумайте, что можно сказать насчёт отрезка соединяющего центр сферы и центр окружности?

[teleglaz]

1. Постройте прямую через центр сферы перпендикулярно плоскости.
2. Найдите точку пересечения прямой и плоскости. Сие будет центр окружности.
3. Найдите какое либо решение вашей системы. Это будет точка окружности. Впрочем её может и не быть.
4. Найдите расстояние между этой точкой и центром из п.2. Сие будет радиус.

[Tiberium]

thething в сообщении #1327593 писал(а):

Сперва выделите полный квадрат в уравнении сферы и убедитесь, что центр сферы не лежит в плоскости. Таким образом, надо будет найти проекцию центра сферы на плоскость вдоль вектора нормали. Для этого составляете параметрические уравнения прямой, проходящей через центр сферы в направление нормали, подставляете эти уравнения в уравнение плоскости, находите параметр и получаете центр окружности. Пока это сделайте, дальше посмотрим. Книг с решениями посоветовать не могу.

Центр сферы имеет координаты $ (6; -2; 3)$, нормальный вектор — $ (2;2;1)$. Тогда $ x = 2t+6, y = 2t-2, z = t+3 $. Из уравнения плоскости получаем $ t = -\frac{4}{3}$. Как через $t$ получить центр окружности?

[thething]

Tiberium в сообщении #1327597 писал(а):

Как через $t$ получить центр окружности?

Подставить в икс, игрек и зет

-- 19.07.2018, 12:18 --

Дальше можете найти расстояние между центрами сферы и окружности и для нахождения радиуса воспользоваться теоремой Пифагора (лучше нарисовать картинку).

[Tiberium]

thething в сообщении #1327598 писал(а):

Дальше можете найти расстояние между центрами сферы и окружности и для нахождения радиуса воспользоваться теоремой Пифагора (лучше нарисовать картинку).

Но для этого нам нужно найти ещё какую-нибудь точку на окружности и расстояние от центра сферы до нее, да?

[thething]

Tiberium в сообщении #1327599 писал(а):

Но для этого нам нужно найти ещё какую-нибудь точку на окружности и расстояние от центра сферы до нее, да?

А надо ли? Или Вы это расстояние и так знаете?

[Tiberium]

thething в сообщении #1327600 писал(а):

А надо ли? Или Вы это расстояние и так знаете?

Извините за тупость Со школьных времен панический страх перед геометрией.

Нет, не надо, так как мы знаем радиус сферы $ R = 5 $. А $r$ окружности есть $ \sqrt{R^2-d^2}$, где $d$ - расстояние между центрами сферы и окружности.

Ещё раз спасибо!