Решение системы дифференциальных уравнений

[Tiberium]

Вопрос примитивный, но все же не могу сам сообразить. Допустим, решаем мы линейную однородную систему диффуров с постоянными коэффициентами.

Нашли собственные числа соответствующей матрицы, получили два комплексно сопряженных корня. В примерах рассматривается только одно из комплексных решений характеристического уравнения, при этом сказано, что действительная и мнимая часть $ \bar{X}$ будут соответствовать двум независимым частным решениям.

Мне совсем не очевидно, почему это так. Дело в том, что второй комплексный корень не даст независимых решений?

[thething]

А если бы корни характеристического уравнения были действительны, такого вопроса у Вас бы не возникло?

Tiberium в сообщении #1327577 писал(а):

Мне совсем не очевидно, почему это так.

Что именно неочевидно? Что это частные решения или что они независимы?

[Tiberium]

thething в сообщении #1327579 писал(а):

Что именно неочевидно? Что это частные решения или что они независимы?

Поясню: в случае с действительными числами мы решаем систему для каждого собственного значения. Когда у нас парные комплексные корни, рассматриваем только один из них.

[thething]

Нет, рассматриваете оба. В любом случае, Вы решение представляете в виде комбинации двух экспонент, только в одном случае они действительные, а в другом -- мнимые. Независимость действительной и мнимой частей во втором случае получается как следствие независимости мнимых экспонент. То, что действительная и мнимая части дают частные решения следует, например из того, что $ \operatorname{Re} z=\frac{z+\bar{z}}{2}$, и, аналогично с мнимой частью.

-- 19.07.2018, 11:31 --

Или Вы имеете ввиду, почему не ищем второй собственный вектор (и второе частное решение)? Тут, поскольку Вы решаете систему с действительными коэффициентами, то его искать не нужно (бессмысленно), т.к. решение, полученное через него будет просто комплексно сопряженным с первым полученным решением.

[teleglaz]

Соответствующие паре корней $\alpha\pm i\beta$ частные решения $X(t)=h\exp(\lambda t)$ и $\overline{X}(t)=\overline{h}\exp(\overline{\lambda} t)$ -- комплекснозначные. Так как, как правило, ставится задача отыскания действительных решений системы дифференциальных уравнений, то в качестве решений, соответствующих такой паре комплексных сопряжённых собственных значений, выбираются линейные комбинации решений $X(t)$ и $\overline{X}(t)$, а именно, $X_1(t)=\dfrac{X(t)+\overline{X}(t)}{2}$ и $X_2(t)=\dfrac{X(t)-\overline{X}(t)}{2i}$, или $X_1(t)=\operatorname{Re} X(t)$, $X_2(t)=\operatorname{Im} X(t)$.

[Tiberium]

thething в сообщении #1327581 писал(а):

Или Вы имеете ввиду, почему не ищем второй собственный вектор (и второе частное решение)? Тут, поскольку Вы решаете систему с действительными коэффициентами, то его искать не нужно (бессмысленно), т.к. решение, полученное через него будет просто комплексно сопряженным с первым полученным решением.

Да, я имел в виду это:) Спасибо!

[Someone]

Tiberium в сообщении #1327577 писал(а):

Вопрос примитивный, но все же не могу сам сообразить.

Собственно, если уж у Вас такой вопрос возник, надо было расписать оба варианта и посмотреть, какие решения получаются из одного и какие — из другого. И вопрос сразу прояснился бы.