Производная Шварца отображения на внешность многоугольника

[Kleon]

Производную отображения $w=f(z)$ из полуплоскости на внешность треугольника можем записать в виде $f'(z)=c\displaystyle\frac{z^{\alpha-1}(z-1)^{\beta-1}}{(z-\zeta)^2(z-\overline{\zeta})^2}$ (формула 1), здесь 0, 1, $\infty$ -- прообразы вершин треугольника, $\alpha \pi,\beta \pi,(1-\alpha-\beta)\pi$ -- углы при этих вершинах, $\zeta$ -- прообраз бесконечности. Производная Шварца отображения $f$ имеет вид $\frac{f'''}{f'}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''}{f'}\right)=\frac{1-\alpha^2}{2z^2}+\frac{1-\beta^2}{2(z-1)^2}+\frac{M_1}{z}+\frac{M_2}{z-1},$ (формула 2). Так как мы можем дробно линейным преобразованием перевести какую-нибудь вершину треугольника в бесконечность, и производная Шварца инвариантна относительно дробно-линейного преобразования, то производная Шварца не зависит от того, с внешностью треугольника, или с внутренностью треугольника мы имеем дело.

Однако, если я записываю производную Шварца для отображения $f$, представленного первой формулой, у меня не получается ожидаемое -- формула 2. Где я не прав?

Так, $\frac{f''}{f'}=(\ln f')'=\frac{\alpha-1}{z}+\frac{\beta-1}{z-1}-\frac{2}{z-\zeta}-\frac{2}{z-\overline{\zeta}}$,

тогда $\frac{f'''}{f'}-\left(\frac{f''}{f'}\right)^2=\frac{1-\alpha}{z^2}+\frac{1-\beta}{(z-1)^2}+\frac{2}{(z-\zeta)^2}+\frac{2}{(z-\overline{\zeta})^2}$,

$\frac{f'''}{f'}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''}{f'}\right)^2=\frac{f'''}{f'}-\left(\frac{f''}{f'}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{f''}{f'}\right)^2=\frac{1-\alpha^2}{2z^2}+\frac{1-\beta^2}{2(z-1)^2}+\frac{\widetilde{M}_1}{z}+\frac{\widetilde{M}_2}{z-1}+2\left(\left(\frac{\alpha-1}{z}+\frac{\beta-1}{z-1}\right)\frac{2z-\zeta-\overline{\zeta}}{(z-\zeta)(z-\overline{\zeta})}-\frac{2}{(z-\zeta)(z-\overline{\zeta})}\right)$.

[Kleon]

Есть опечатка, третий угол равен $5-\alpha-\beta$, так как внешность треугольника рассматривается, но вопрос не снимается. И еще квадрат потерян в левой части формулы 2.

[Kleon]

Разобрался. Производная Шварца записана правильно. Дело в том, что $\zeta$ должно иметь такое значение, что скобочки $(z-\zeta)(z-\overline{\zeta})$ в знаменателе слагаемого в последней строчке сокращаются. То что остается от этого слагаемого уходит в $M_k$. Проверил на треугольнике.