Приближение многочленами

[MChagall]

$D$ - единичный круг, $G$ - жорданова область, $f$ - конформное отображение $D$ на $G$.
Доказать, что $\forall \varepsilon > 0$ существует однолистный в $D$ многочлен $P$ такой, что $\left\lVert f-P\right\rVert\right\rVert_{\overline{D}}< \varepsilon$.

По принципу соответствия границ можем продолжить $f$ на границу $D$ и получим что $f$ голоморфна в $D$ и непрерывна на $\overline{D}$
В одном из топиков уже спрашивал такую задачу:
$D$ - внутренность единичного круга. $f$ голоморфна в $D$ и непрерывна на $\overline{D}$. Доказать, что существует такая последовательность многочленов $\left\lbrace P_n\right\rbrace$, что $P_n \to f$ на $\overline{D}$ равномерно при $n \to \infty$.
Буду считать это доказанным.

Из этой задачи следует существование многочлена. Верно пока?
Осталось доказать его однолистность. И здесь не знаю как. Пробовал от противного.
Пусть для данного $\varepsilon$ и нужного многочлена $P(x)=P(y);x,y\in D$. Из конформности $f(x)\ne f(y)$
$\left\lvert f(x)-P(x) \right\rvert <\varepsilon$
$\left\lvert f(y)-P(y) \right\rvert <\varepsilon$
$\left\lvert f(x)-P(x)-f(y)+P(y) \right\rvert=\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert < 2\varepsilon$.
Дальше не знаю. Может кто помочь?

-- 16.07.2018, 19:59 --

Может так. Пусть $\delta = \inf\limits_{x,y\in D}\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert$.
Возьмём $\varepsilon < \frac{\delta}{2}$. Тогда $\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert < 2\varepsilon<\delta$. Противоречие. Значит $P$ однолистен.
Верно так?

[MChagall]

MChagall в сообщении #1327099 писал(а):

Может так. Пусть $\delta = \inf\limits_{x,y\in D}\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert$.
Возьмём $\varepsilon < \frac{\delta}{2}$. Тогда $\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert < 2\varepsilon<\delta$. Противоречие. Значит $P$ однолистен.

Нет, увидел просчёт: на границе $D$ возможен случай $\delta =0$.
Подправим так: рассмотрим замкнутый круг $B$ с центром в $(0,0)$ и радиусом $r=1-\zeta, \zeta >0$. На $\overline{B}$ уже $\delta >0$. Поэтому из аналогичного рассуждению выше получается что для любого $\zeta$ многочлен $P(z)$ однолистен на $\overline{B}$. Значит, он однолистен в $D$ (без границы).
Может кто посмотреть заблуждаюсь ли я где-либо?

[Kleon]

По-моему, $\delta=0$ в любом круге $B$ и, вообще на связном подмножестве из $D$ из за непрерывности $f$.

Известно, что $f$ конформно, тогда это отображение можно представить формулой Телора в круге, с центром в нуле, радиуса меньше единицы, будет ли это представление однолистным?

[MChagall]

Kleon в сообщении #1327631 писал(а):

будет ли это представление однолистным

Ну думаю, что будет.
Пусть оно неоднолстно, т.е. $P(x)=P(y)$ для некоторых $x,y$. Тогда пусть $\delta = \left\lvert f(x)-f(y)\right\rvert$. Возьмём $\varepsilon < \frac{\delta}{2}$.
$\left\lvert f(x)-P(x)\right\rvert < \varepsilon$, $\left\lvert f(y)-P(y)\right\rvert < \varepsilon$
$\left\lvert f(x)-P(x)-f(y)+P(y) \right\rvert=\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert < 2\varepsilon < \delta$. Противоречие, значит, однолистно.
Не прав я в доказательстве?

[Kleon]

Так похоже не пойдет.
Что дано: функция $f$ и многочлен $P$, такой, что $|f(x)-P(x)|<\varepsilon$ для всех $x$ из круга, некоторого радиуса, меньшего единицы. Рассуждая от противного, находите $x$, $y$, на которых многочлен принимает одинаковые значения... Вот это место: возьмем $\varepsilon<\frac{\delta}{2}$, тогда придется брать новый многочлен, и для него искать заново $x$, $y$. Получается порочный круг.

Для P однолистность в круге с центром в нуле будет по теореме о локальной однолистности, производная не обращается в ноль. Интуитивно: радиус круга однолистности зависит от количества слогаемых в формуле Тейлора P.
Похоже можем взять P такой, что он однолистен в круге радиуса $1-\varepsilon$.

Можно попробовать рассмотреть функцию $g=f(z/r)$ где $r=1+\delta$. Эта функция конформна в круге радиуса r, будем рассматривать ее в единичном круге (сузим) и, если G ограничена, в круге радиуса 1 она мало отличается от $f$, так? Замечу, что $g(D)$ это подмножество G. Для $g$ можно построить P, однолистный в D. Как обойти требование ограниченности G?

[MChagall]

Kleon в сообщении #1327978 писал(а):

производная не обращается в ноль

Не могу понять почему?

[Kleon]

Функция $P$ сконструирована с помощью формулы Тейлора, т. е. $P(0)=f(0)$, $P'(0)=f'(0)\neq0$, ... . Ведь $f$ по условию однолистна?
Например, для функции $\frac{1}{1-z}$ первые три слагаемых в формуле Тейлора $1+z+z^2$, область однолистности -- круг, радиуса меньше ед.

[MChagall]

Kleon в сообщении #1327978 писал(а):

Похоже можем взять P такой, что он однолистен в круге радиуса $1-\varepsilon$.

Здесь $\varepsilon$ та, которая участвует в выборе $P$?
Тогда почему мы можем взять такой $P$, что он однолистен в круге радиуса $1-\varepsilon$?

[Kleon]

MChagall в сообщении #1328171 писал(а):

Тогда почему мы можем взять такой $P$, что он однолистен в круге радиуса $1-\varepsilon$?

Мы можем взять $P_n$ -- многочлен степени $n$, полученный с помощью формулы Тейлора. Его "радиус однолистности" обозначим $r_n$. Теперь устремляем $n$ к бесконечности, будет ли $r_n$ стремиться к 1? Напишите Ваши рассуждения, у меня не получается по-простому (вроде бы получается с помощью теоремы Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру).

[Optimizator]

MChagall писал(а):

В одном из топиков уже спрашивал такую задачу:
$D$ - внутренность единичного круга. $f$ голоморфна в $D$ и непрерывна на $\overline{D}$. Доказать, что существует такая последовательность многочленов $\left\lbrace P_n\right\rbrace$, что $P_n \to f$ на $\overline{D}$ равномерно при $n \to \infty$.
Буду считать это доказанным.
Из этой задачи следует существование многочлена. Верно пока?

А можно поподробнее, как именно следует для произвольной жордановой области?

[novichok2018]

Это не теорема Мергеляна в одну сторону?