Сумма трёх квадратов, равная сумме трёх кубов

[Ktina]

Докажите, что уравнение

$$x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$$

имеет бесконечно много решений в целых числах.
(Орлёнок - 2006, задача №3)

Чисто эмпирическим путём мне удалось подобрать бесконечное семейство троек $(x, y, z)$, удовлетворяющее условию задачи:

$$(x=2n^2+1,\; y=nx,\; z=-y,\quad n\in\mathbb N_0)$$

Но ведь есть решения, не входящие в это семейство, например, $(0,\; 0,\; 0).$
Какие ещё бесконечные семейства троек относительно легко находятся?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

P. S.
А может, можно найти все целочисленные решения этого уравнения?

[Neoguri]

Ну есть такая серия решений:
$\begin{cases} x=\left(6 t^3+1\right) \left(36 t^6+18 t^4+1\right)\\ y=\left(1-6 t^3\right) \left(36 t^6+18 t^4+1\right)\\ z = -6 t^2 \left(36 t^6+18 t^4+1\right) \end{cases}$

Примеры решений: $(385, -275, -330),(127057, -121871, -62232), \dots $ . Объяснить как получено или сами догадаетесь?

[Ktina]

Neoguri в сообщении #1326815 писал(а):

Объяснить как получено или сами догадаетесь?

Попробую догадаться. Сколько времени даёте?

[Neoguri]

В общем вот что: сравните ту серию решений которую получили вы и сравните с моей. В чём их сходство и различие? Какому шаблону они следуют? Можете ли вы найти ещё решения следующие этому шаблону?

[Ktina]

Neoguri
Я правильно Вас понимаю, что Вы предлагаете найти "бесконечное семейство бесконечных семейств"?

[Neoguri]

Ну с совсем бесконечным семейством серий решений могут быть проблемы, но ещё одну серию решений найти можно. Насчёт нахождения всех целочисленных решений я правда не уверен, при попытке разобраться оказалось что там может все упереться в открытые проблемы.

[Neoguri]

Вашу серию решений можно записать как
$ \begin{cases} x & =2t^2+1\\ y & = t(2t^2+1)\\ z & = -t(2t^2+1) \end{cases} $

Общий шаблон заметен?

[wrest]

Ktina
Известно ( ), число не представимо суммой трёх квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид $(8k + 7)\cdot 4^m$
С другой стороны, известно, что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9.

Таким образом, сумма кубов трех последовательных чисел всегда представима суммой трех квадратов.

[grizzly]

wrest в сообщении #1327006 писал(а):

Таким образом, сумма кубов трех последовательных чисел всегда представима суммой трех квадратов.

Во-первых, 42 63, а во-вторых, там слева и справа одинаковые числа возводятся в кубы и квадраты.

[wrest]

grizzly в сообщении #1327009 писал(а):

а во-вторых, там слева и справа одинаковые числа возводятся в кубы и квадраты.

[yk2ru]

Из серии - гляжу в книгу, вижу фигу. Все пропускали мимо одинаковые буквы переменных, пока кто-то этого не узрел. В этом ли суть задачи? Невнимательные начнут искать серии.